4-р БДС У.Чинзориг

2014 оны 02-р сарын 26 Нийтэлсэн many users

Судоку

Правила игры

Необходимо заполнить пустые клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы: в любой строке, в любом столбце, в любом выделенном квадрате 3 на 3 не было одинаковых цифр.

Примеры

Какуро

Правила игры

Поле состоит из клеток черного и белого цвета. Несколько белых клеток, идущих подряд по горизонтали или по вертикали, называются блоком. Про каждый блок известна сумма цифр, которые должны стоять в этом блоке. Для горизонтальных блоков эта сумма обычно записывается непосредственно слева от блока, а для вертикальных — непосредственно сверху.

Во все белые клетки нужно вписать по одной цифре от 1 до 9 так, чтобы, во-первых, сумма цифр в каждом блоке сошлась с указанным числом, а во-вторых, чтобы в каждом блоке все цифры были различны.

Примеры

Хитори

Правила игры

Необходимо зачеркнуть клетки с числами так, чтобы числа не повторялись в любой строке или столбце. Зачеркнутые клетки могут касаться друг друга только углами, но никак не сторонами. Незачеркнутые клетки должны составлять непрерывное "белое" пространство, то есть ни одна из них не должна быть изолирована от других таких же.

Примеры

4-р БДС У.Чинзориг

2014 оны 02-р сарын 13 Нийтэлсэн many users
Турк улсын оюуны спортын мөнгөн медальт, Монголын Оюуны хөгжил – Оюуны спортын төвийн тэргүүн Х. ХАТАНБААТАР: Өнөөдрийн лекц “Ой тогтоолтоо хөгжүүлцгээе” гэсэн сэдвийн дор явагдах бөгөөд тодорхой хэмжээний мэдээллийг та бүхэнд хүргэе. Юуны өмнө өөрийгөө танилцуулъя. Намайг Хандсүрэнгийн Хатанбаатар гэдэг. Турк улсад эрх зүйч мэргэжлээр төгссөн. Би та бүхэнтэй адил сурч боловсрохыг эрхэмлэдэг, эх орныхоо хөгжилд хувь нэмрээ оруулахыг эрмэлздэг эх оронч, үндэсний үзэлтэй жирийн нэг монгол залуу. Өнгөрсөн 2008 оны есдүгээр сард Турк улсад хоёр дахь удаагаа зохиогдсон “Ой тогтоолт болон фото түргэн уншлага”-ын аварга шалгаруулах тэмцээнд оролцож, мөнгөн медаль хүртэн, дэлхийн аваргад оролцох эрхээ авсан. Дэлхийн аваргын тэмцээн 2008 оны арваннэгдүгээр сард “MEMORIAD-2008” нэрийн дор болж, 20 орчим орны 44 оюуны спортын тамирчин найман төрлөөр өрсөлдсөн. Миний бие энэ тэмцээнд ой тогтоолт гэсэн хэсэгт хөзөр цээжлэх, цээж тооны хэсэгт түүхт он тоолол гэсэн төрлөөр тус тус өрсөлдөж, тодорхой амжилт гаргасан. Хольж өгсөн 52 ширхэг хөзрийг 5 минутад дарааллаар нь цээжлэх ёстой байсан бөгөөд миний бие 2 минут 30 секундэд цээжилж хариулсан. Түүхт он тоолол гэсэн төрөлд 1600-2099 оны хооронд өгөгдсөн он сар өдөр байгаа юм л даа. Жишээ нь, 1658 оны гуравдугаар сарын найман ямар гараг вэ гэдгийг олох ёстой. Нэг минутад 17 өдөр олж, 17 хүнээс 10-т орсон. Зах зээлийн энэ нийгэмд яавал амжилтад хүрч, сэтгэл хангалуун, юугаар ч дутагдахгүй амьдрах вэ гэж та бүхэн өөрөөсөө бишгүй л асуусан байх. Энэ асуулт хүн бүхнийг зовоодог нь ойлгомжтой. Гагцхүү маш хурдан сэтгэж, их хэмжээний мэдээлэл олж аван, түүнийгээ боловсруулан амьдралдаа хэрэглэж чаддаг хүн л амжилтад хүрдэг гэдгийг бүгд зөвшөөрнө. Тийм чадваргүй бол яахав? Гараа хумхиад л суух уу? Ёстой үгүй! Амжилтад хүрсэн хүмүүс хоёр толгой, дөрвөн гартай биш. Тэд бидэнтэй яг адил. Харин бид бүхнээс ганцхан зүйлээр ялгарах бөгөөд тэр нь сэтгэлгээ юм. Сэтгэлгээ нь эерэг болон сөрөг гэсэн хоёр хэлбэртэй бөгөөд энэ нь тухайн хүний хувь заяанд шууд нөлөөлдөг. Нэг жишээ хэлэхэд, гутлын үйлдвэрийн эзэн нэг менежерээ Африк руу гутал заруулахаар явуулжээ. Менежер Африкт очоод онгоцноос буунгуутаа хөл нүцгэн африкчуудыг хараад, “Захирал аа, энд ерөөсөө нэг ч хүн гутал өмсдөггүй юм байна” /гутал зарагдахгүй нь ойлгомжтой/ гэж хэлээд, ирсэн онгоцондоо суугаад буцжээ. Тэгэхээр эзэн нь, “Манай энэ ч сөрөг хүн дээ, арай эерэг менежерээ Африк явуулаад үзье” гэж бодоод эерэг менежерээ явуулжээ. Тэр менежер онгоцноос буунгуутаа африкчуудыг хараад эзэндээ, “Захирал аа, энд нэг ч хүн гуталгүй байна, наанаа байгаа бүх гутлыг над руу явуулчих” /гуталгүй учраас олон гутал худалдаж болно/ гэсэн байна. Тухайн үед африкчууд гутал өмсөөгүй байж болно, гэхдээ халуун элс хайрга, өргөс бутан дээр хөл нүцгэн явж буй хүмүүст гутал хэрэгтэй л байх ёстой. Үүнийг сөрөг сэтгэлгээтэй хүн харж чадаагүйгээрээ ажил нь амжилтгүй буцсан бол харин эерэг сэтгэлгээтэй хүн харж чадсан учир ажил нь амжилттай болжээ. Үүнтэй адил бид эерэг сэтгэлгээг л хөгжүүлэх ёстой. Хамгийн гол нь туйлын зорилгоо зөв тодорхойлон, сэтгэлгээгээ үүний дагуу өөрчлөх хэрэгтэй. Хүн ер нь өөрийн гэсэн зорилготой байх ёстой л доо. Зорилгогүй хүн сэлүүргүй завьтай адил гэсэн үг байдаг. Зорилгодоо хүрэхийн тулд тэмүүлэлтэй, хичээл зүтгэлтэй байх ёстой. Хичээл зүтгэлгүй бол зорилгодоо хэзээ ч хүрэхгүй шүү дээ. Турк улсад оюутан байх хугацаандаа би боддог байсан л даа. Монголдоо ирдэг, ажлын байр яах билээ, надтай адил гадаадад төгссөн асар олон оюутан байгаа, тэднээс ямар нэг зүйлээрээ ялгарах ёстой гэж боддог байлаа. Тэгээд ой тогтоолт, фото түргэн уншлага гэсэн зүйл сонирхлыг минь татаж, энэ чиглэлээр судалж оролдох болсон ба үүнийг монголчууддаа таниулъя гэсэн зорилго тавьсан. Фото түргэн уншлага гэдэг бол их хэмжээний мэдээллийг маш богино хугацаанд уншиж ойлгох үйл явц юм. Танд танилцсан хүнийхээ нэрийг хэд хоногийн дараа, уншсан зүйлсээ богино хугацааны дараа мартах үе байдаг уу? Мөн утасны дугаар цээжлэх хүндрэлтэй байдаг уу? Хэдхэн секундын өмнө барьж байсан зүйлээ хайж, цаг алдах үе гарч байсан уу? Энэ мэтчилэн тоочоод байвал нэлээн зүйл гарч ирж магадгүй. Энэ асуудалд хариулт олцгооё л доо. Бялдаржуулах урлагаар хичээллэж, биеэ хөгжүүлж болдог шиг оюун ухаанаа, тэр тусмаа түүний суурь болсон ой тогтоолтыг дээд зэргээр хөгжүүлж болдог. Хүн төрөлхтний түүхэнд ийм жишээ маш олон. Монголчууд маань олон зуун малынхаа зүсийг мэддэг маш ой сайтай хүмүүс. Эртний Ромын уран илтгэгч Сенека хоорондоо холбоогүй 2000 үгийг нэг сонсоод л яг дэс дарааллаар нь хэлж чаддаг байжээ. Македоны Александр, Наполеон Бонапарт нар бүх цэргийнхээ нэрийг мэддэг байсан гэж түүхийн хуудаснаа үлджээ. Тэдний арми 30-аад мянган цэрэгтэй байжээ. Хөгжмийн аугаа их зохиолч Моцарт 14 настайдаа Ромын сүмд жилд хоёрхон удаа тоглодог “Мизе ре” гэдэг маш том бүтээлийг ганц удаа сонсоод л нотыг нь цээжээрээ бичжээ. Та бүхэн энэ хүмүүс суут болохоороо л ийм мундаг ой тогтоолттой байсан байлгүй гэж бодож магад. Тэгвэл огт үгүй шүү. Гайхамшигт ойтой болсон ихэнх хүмүүс өөрсдийнхөө хичээл зүтгэлээр тийм чадварыг эзэмшсэн байдаг. Өөрсдийгөө өөрчлөх гэсэн хязгааргүй их хүсэл, тэвчээрээр уйгагүй хөдөлмөрлөж энэ чадварыг эзэмшсэн байна. Бид ой тогтоолтоо сайжруулахын тулд эхлээд тархиныхаа бүтэц, үйл ажиллагааг маш сайн мэддэг байх шаардлагатай. Бидний тархи зүүн, баруун гэсэн хоёр хагас бөмбөлгөөс бүрддэг. Энэ хоёр хоёулаа цээжлэх процесст тодорхой хэмжээний үүрэг гүйцэтгэдэг. Гэхдээ дийлэнх хүмүүс тархины зүүн хагас бөмбөлгөөрөө цээжилдэг. Зүүн хагас бөмбөлөг нь ангилал, тоотой хийх үйлдлүүд, шалтгаан, үр дагаврын холбоо, шинэчлэл, төлөвлөгөөг хариуцдаг. Харин тархины баруун хагас бөмбөлөг маань өнгө ялгах, төсөөлөх, зөгнөх, ямар нэгэн хөгжмийн хэмнэлийг мэдрэх, иж бүрэн зураглал хийх, орон зайн баримжааг гаргах гэх мэт асар их үүрэгтэй. Тархины баруун хагас бөмбөлөг цээжлэх процесст асар их үүрэгтэй байдаг. Бид баруун хагас бөмбөлгөө ажиллуулах тал дээр ерөөсөө анхаардаггүй. Ямар нэгэн юмыг цээжлэхдээ энэ хоёрыгоо тэнцвэртэйгээр ашиглавал үлдэцтэй сайн тогтоож чаддаг. Цээжлэхдээ аль болох төсөөллийг ашигла. Ингэснээрээ баруун хагас бөмбөлөг ажиллаж эхэлнэ гэсэн үг. Хүүхдүүд 4-7 насандаа тархиныхаа баруун, зүүн хос бөмбөлгийг хоёуланг нь ажиллуулдаг. 4-7 насны хүүхэд чөлөөтэй сэтгэж, зураг зурж, хөгжим сонсдог ба юмыг их хялбархан цээжилдэг. Тэр үед нь энэ суурь мэдлэгийг олгох хэрэгтэй байх. Энэ чадварыг эзэмшүүлээгүйгээс тухайн хүүхэд нэгдүгээр ангид ороод нэг хэв загварт баригдаж, чөлөөтэй сэтгэх сэтгэлгээ нь үгүй болчихож байгаа юм л даа. Зөвхөн энэ дарааллаар явна, энэ чинь ийм байх учиртай гээд нэг хэв загварт орчихдог. Меномотехникийн тусламжтайгаар хүүхдийг багаас нь хичээллүүлбэл 11 жилд судлах материалыг 5,6-хан жилд үзэх боломжтой. Ой тогтоолтыг сайжруулахад хэрэг болдог зарчмууд гэж бий. Энэ зарчмуудыг баримтлаад ой тогтоолтын аргыг хэрэглээд явбал ямар ч зүйлийг маш сайн цээжилж болно. Ой тогтоолт сайжруулах аргачлалыг меномотехник гэж нэрлэдэг. Энэ нь эртний Грек, Ромын үеэс үүсэлтэй. Тухайн үеийн уран илтгэгчид ард түмэн, сенатыг татахын тулд цаас харалгүйгээр маш их хэмжээний мэдээллийг эмх цэгц, дэс дараатайгаар ярьж чаддаг байсан байна. Меномотехникийг эзэмших нь хүн бүрт зайлшгүй хэрэгтэй. Хүн бүрт өдөр тутам тодорхой хэмжээний мэдээлэл цээжлэх шаардлага зайлшгүй гардаг. Хүний утасны дугаар, нэр, зүс царай, дэлгүүрээс авах зүйлсийн нэрсийн жагсаалт... г.м нэрлээд байвал олон. Энэ техникийн тусламжтайгаар бүх зүйлийг, ялангуяа оюутан сурагчид та бүхэн хичээл сургалтынхаа бүх материалыг цээжлэх боломжтой. Хичээлийн жилийн турш энэ техникийн тусламжтайгаар хичээлээ бага багаар нь цээжлээд явбал шалгалтад бэлдэхгүйгээр орох боломжийг хүртэл бүрдүүлдэг. Ингэснээрээ оюутан сурагчид цаг хэмнэнэ, цаашлаад мэдлэгийнхээ хүрээг тэлэх бүрэн боломжийг бүрдүүлж өгөх ба сурагч хүнд ирээдүйд өндөр боловсон хүчин болох үүд хаалгыг нээж байгаа юм. Энэ техникийг тодорхой түвшинд эзэмшсэн хүн юу хийж болохыг нэгэн жишээн дээр үзүүлье. Одоо та бүхэн нэг нэгээрээ самбар дээр байгаа 1-30 хүртэл дугаарласан цифрээс дуртай дугаараа сонгоод нэг, нэг үг хэлнэ. Тухайлбал, 15-р үг боловсрол, 3-р үг сандал, 8-р үг камер, энэ мэтчилэн дуртай дугаараа сонгоод үг хэлнэ. Надад нэг туслагч хэрэгтэй, тэр туслагч гарч ирээд та нарын хэлсэн үгийг самбар дээр бичнэ. Энэ самбар дээр бичиж байгаа үгсийг би харалгүйгээр зөвхөн сонсоод дэс дарааллаар нь тогтоох юм. За эхлэх үү? (16. Монгол, 30.гэрэл, 13.амьдрал, 15.ном, 9.сүлд, 25.зүрх, 10.соёмбо, 14.эх орон, 1.ном, 22.адуу ...г.м 30 үг хэлэхэд бүгдийг нь цээжилж, алдалгүйгээр эхнээс нь дэс дараатайгаар хариулав) Миний дээд амжилт 1000 орчим үгийг энэ байдлаар цээжилж чадсан. Хэцүү санагдаж байна уу? Гэвч гол учир нь энэ нь гоц авъяас биш арга техник, зүй тогтлыг нь эзэмшсэнд байгаа юм. Мэдээж энэ чадварыг эзэмших гэж нэлээн тэвчээр гаргаж хөдөлмөрлөсөн. Одоо та бүхэнд би нэг даалгавар өгье. Миний хэлсэн 20 үгийг дэс дарааллаар нь цээжлэх хэрэгтэй. За эхэллээ! (хивс, цаас, шил, ор, загас, сандал, цонх, утас, тамхи, хадаас, бичгийн машин, гутал, микрофон, алим, зурагт, онгоц, бассейн, танк, шоргоолж, цүнх гэж хэлээд цээжилсэн эсэхийг нь 3 сурагчаас асуухад дээд тал нь 6-г хэлэв) За, ийм байдаг юм байна хүүхдүүд ээ. Европ болон Америкт маш олон хүнийг судалгаанд хамруулсан байна. Судалгаанд хамрагдсан хүмүүсийн 90 % нь 20 үгнээс дээд тал нь 5-хан үгийг л хэлж чадсан байна. Одоо энэ 20 үгийг яаж цээжилснээ та бүхэнд тайлбарлая. Маш хялбархан цээжилж болно. Тархины зүүн болон баруун хагас бөмбөлгийг хоёуланг нь зэрэг ажиллуулна гэж би дээр ярьсан. Баруун хагас бөмбөлөг ажиллуулна гэдэг маань цээжлэх зүйлсээ маш сайн төсөөлөөд гинж буюу холбох аргын тусламжтайгаар цээжлэх хэрэгтэй. Гол зарчмуудаа баримтлаад, аргаа хэрэглэж этгээд сонин төсөөллийг бий болгож өгөх хэрэгтэй. Ингэж хэвшвэл та үлдэцтэй сайн цээжилж чадна. Эхний үг хивс. Хивс гээд хэлэнгүүт миний амнаас нэг их урт хивс гараад явчихаж байна гээд цээжилчихлээ. Дараагийн үг цаас. Цаасаа хивстэйгээ холбож нийлэмж үүсгээд, би хивсэн дээр алхаж явна гэнэ, тэгтэл дуу чимээ нь нэг л өөр болоод явчихлаа, доошоо хартал хивс биш цаасан дээр алхаад явж байна гээд цаасыг цээжилчихлээ. Дараагийн үг маань шил. Одоо би цаастайгаа холбож цээжилнэ. Цаасан дээр бичиг байна гэнэ, тэр цаасыг унших гээд аваад хартал цаас биш шилэн дээрх бичгийг унших гэж оролдож байна гэж төсөөлөөд л шилээ цээжилнэ. (Энэ мэтчилэн 20 үгийг этгээд төсөөллийг бий болгож тайлбарлан цээжлэв. Дараа нь хүүхдүүдээс асуухад нэг ч алдалгүй бүгдийг хэлж чадсан юм) Ингээд 20-ууланг нь маш хялбархан цээжилчихэж л байгаа биз дээ. Эхэндээ би 2,2-хон секундын зайтай хэлээд явсан л даа. Яаж ийм богино хугацаанд төсөөлөх юм бэ гэж бодож магадгүй. Гэвч хийгээд хэвшвэл энэ маань далд ухамсарт шингэж, маш хурдан төсөөлөөд цээжилдэг болно. Энэ нь ой тогтоолтын дэлхийн аваргын тэмцээн дээр нэг төрөл болдог. Таван минутанд 366 үг цээжилчихсэн хүн байна. Ой тогтоолтоо энэ аргачлалаар хөгжүүлээд, цааш нь судалж дэлгэрүүлээд явбал бүх зүйлийг цээжлэх боломжтой. Харсан болгоноо цээжилдэг үү гэвэл мэдээж үгүй. Цээжилье гэсэн зүйлээ л цээжилнэ. Ой тогтоолтын энэ аргаар хүний нэр, зүс царай, гадаад хэлний шинэ үгс, утасны дугаар, дуу болон шүлэг, тоо болон тоон мэдээлэл г.м зүйлсийг маш хялбархан цээжилж болно. Төгсгөлд нь хэлэхэд, та бүхэн миний энэ лекцийг сонсоод хүн болгон ой тогтоолтыг сайжруулж болдог юм байна гэсэн сэтгэгдэлтэй үлдсэн байх, тийм үү? (Тийм гэж хүүхдүүд хариулав) Та бүхнийг ой тогтоолт болон оюуныхаа хөгжилд хэрэг болох тодорхой хэмжээний мэдээлэл олж авсан байх гэж найдаж байна. Мэдээж ганц удаагийн лекцээр та нарт хэрэг болох бүх зүйлийг хүргэх боломжгүй нь ойлгомжтой. Хэчнээн их техник технологи, хөгжил дэвшлийн асуудал хөндөнө, төдий чинээгээр түүнийг ашиглаж чадах мэдлэг боловсролтой, чадварлаг, эрүүл хүн байх ёстой. Эхлээд хүнээ хөгжүүлэх нь улс орны хөгжлийн чухал бодлогын нэг байх ёстой болов уу. Монголынхоо төлөө цохилох зүрхтэй залуус бид бүхэн улс орноо хөгжүүлэх ёстой.

4-r BDS D.Munhgerel

2014 оны 02-р сарын 13 Нийтэлсэн many users
Температуртай бодлогыг бодох арга 6-аас дээш ангийн сурагчид болон математикийн багш нарт зориулав. Дунд сургуулийн математикийн хичээлийн хүрээнд өгүүлбэртэй бодлогууд дотор тодорхой температуртай шингэнүүдийг холих, халаах, хөргөх үйлдлүүд бүхий сэдэвтэй бодлогууд олон тааралддаг билээ. Ийм бодлогуудыг бодоход хими, физикийн зарим мэдлэг хэрэгтэй болдог. Энэ удаа тэдгээр бодлогуудыг бодоход хэрэглэдэг нэгэн томъёог танилцуулъя. Юуны өмнө олонтаа тааралддаг энгийн бодлого авч үзье. Бодлого 1. 100° температуртай 20 л усан дээр 30° температуртай 60 л ус хийвэл хэдэн градусын температуртай болох вэ? Температуртай холбоотой дараах эгэл чанаруудыг хэлж чадна. Үүнд: Чанар 1. Нэг ижил температуртай шингэнийг холиход тэдгээрийн эзэлхүүний харьцаанаас хамаарахгүйгээр хольцын температур өөрчлөгдөхгүй. Өөрөөр хэлбэл хольж буй шингэнүүд хоюулаа а° температуртай бол хольц мөн а° температуртай байна гэсэн үг. Чанар 2. Хоёр өөр температуртай шингэнийг холиход өндөр температуртайгаас нь нам, нам температуртайгаас нь өндөр температуртай шингэн үүснэ. Өөрөөр хэлбэл хольж буй шингэнүүд а°; b° температуртай, a≤b ба хольцын температур с° болсон гэвэл a≤c≤b байна гэсэн үг. Чанар 3. Ижил эзэлхүүнтэй өөр өөр температуртай шингэнүүд хольсон бол хольцын температур тэдгээрийн температуруудын арифметик дундажтай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл хольж буй шингэнүүд а°; b° температуртай, тэдгээр нь ижил хэмжээтэй ба хольцын температур с° болсон гэвэл c=(a+b)/2 байна гэсэн үг. Эдгээр нь ерөнхийдөө илэрхий чанарууд бөгөөд ийм чанаруудыг нь ашиглаад зарим бодлогыг бодож болдог. Гэхдээ ихэнх бодлогуудын хувьд дээрх хялбар чанаруудын тусламжтайгаар бодоход төвөгтэй болдог. 1-р бодлогын хувьд 3-р чанарыг ашиглан бодож болно. Бодолт 1. Эхлээд 100°-тай 20 л усан дээрээ 30°-тай 20 л усыг нэмье. Ингэхэд нэгэнт шингэнүүдийн эзлэхүүн тэнцүү учир дээрх чанар ёсоор (100+30)/2=65 градус температуртай 40 л ус гарна. Одоо энэ усан дээрээ үлдсэн 40 л 30°-тай усаа нэмж болно. Мөн л шингэнүүдийн эзлэхүүн тэнцүү учир температур нь мөн 65 ба 30-ийн дундажтай тэнцүү болно. Иймд (65+30)/2=47,5°. Харин одоо хамгийн гол чанараа авч үзье. Чанар 4. m; n эзэлхүүнтэй а°; b° температуртай шингэнүүд хольсон бол хольцын температур тэдгээрийн температуруудын эзэлхүүнээр нь цэгнэсэн цэгнэлттэй арифметик дундажтай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл хольцын температур с° болсон гэвэл c=(ma+nb)/(m+n) байна гэсэн үг. Үгээр илэрхийлбэл хольцын температур нь хольцод орж буй шингэнүүдийн температурыг эзэлхүүнээр нь үржүүлж нэмээд эзэлхүүнүүдийн нийлбэрт хуваасантай тэнцүү байна. Энэ томъёоны баталгааг та бүхэн физикийн хичээлээр үзсэн байх ёстой. Дээр өгүүлсэн эхний гурван чанар 4-р чанараас амархан мөрдөн гарна. Сүүлийн чанарт гарч байгаа хольцын температурыг олох томъёо нь хамгийн ерөнхий чанар бөгөөд ямар ч хольцын бодлогыг энэ томъёог ашиглах замаар хялбархан бодож болдог. Одоо 1-р бодлогыг энэ томъёог ашиглан бодъё. Бодолт 2. Шууд томъёонд оруулъя. Эхний шингэний эзэлхүүн 20 л, температур 100°, харин дараагийн хольцын эзэлхүүн 60 л, температур 30° тул шинэ хольцын температур х=(20л•100°+60л•30°)/(20л+60л)=3800°л/80л=47,5° болно. Амархан байгаа биз. Үл мэдэгдэхийг хувьсагчаар тэмдэглээд л томъёондоо оруулаад байгаарай. Бодлого 2. (А.Мекей нар. Математик-11. УБ. 2007. (Адмонийн сурах бичиг). 26-р хуудас) 4°-ийн 70 л усыг 24°-ийн температуртай болгохын тулд 80°-ийн ус хэдэн литрийг нэмэх вэ? Бодолт. х литрийг нэмнэ гэж үзээд томъёогоо бичье. 24°=(70л•4°+xл•80°)/(70л+xл) ба эмхэтгэвэл х=25 гэж гарна. Бодлого 3. (Ч.Даваадорж. Математикийн хичээлийн сургалтын материал. 8-9-р анги. УБ. 2008. 148-р хуудас) 100° температуртай буцалж байгаа хичнээн хэмжээний усан дээр 16° температуртай хичнээн хэмжээний ус нэмбэл 58° температуртай 100 гр ус болох вэ? Бодолт. Буцалж байгаа ус нь х гр, нэмж хийсэн ус нь y гр байсан гэж үзээд томъёонд оруулбал 58=(100x+16y)/(x+y) болно. Харин нийт хольц 100 гр болон ёстой гэдгийн тооцвол x+y=100, x=100-y гэж гарна. Үүнийг эхний тэгшитгэлд орлуулбал 58=(100(100-y)+16y)/100 ба y=50, x=50 болно. Бодлого 4. (МУИС. Математикийн тест. (шар ном). УБ. 2003. 226-р хуудас) Хоёр савны 1-рх нь 1 л устай. 2-р саванд байсан усны температур 10° байв. Хэрэв 2-р саванд байсан усны хагасыг 1-р саванд хийвэл 1-р саванд байгаа усны температур 40°, хоёр саванд байсан усыг нэг рүү нь нийлүүлбэл 30° болох байжээ. Тэгвэл 2-р саванд байсан усны хэмжээ, 1-р саван дах усны температурыг ол. Бодолт. 1-р савны температурыг х, 2-р саванд байсан усны хэмжээг Y гэвэл эхний холилтоос 40°=(1л•x°+Y/2л•10°)/(1л+Y/2л), дараагийн холилтоос 30°=(1л•x°+Yл•10°)/(1л+Yл), гэсэн тэшитгэлүүд гэрэх ба тэдгээрийг хялбарчилбал 40+15Y=x ба 30+20Y=x болно. Энд гэрч ирсэн хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг бодвол Y=2л; x=70° гэж гарна. Хольцын бодлого хялбар бодох томъёо 6-аас дээш ангийн сурагчид болон математикийн багш нарт зориулав Дунд сургуулийн математикийн хичээлийн дотор өгүүлбэртэй бодлого нилээд томоохон байр суурь эзэлдэг. Өгүүлбэртэй бодлого нь хүнд хөнгөнөөрөө янз бүр байх бөгөөд тийм ч учраас анги бүрд өгүүлбэртэй бодлого тааралддаг. Элсэлтийн Ерөнхий Шалгалтын сэдвүүд дотор ч өгүүлбэртэй бодлого хэд хэд орж ирдэг. Энэ удаагийн хичээлээр бид өгүүлбэртэй бодлого сэдвийн дотор чухал байр суурь эзэлдэг хольцын бодлогуудыг бодох нэгэн чухал томъёог та бүхэнд танилцуулах болно. Энэ томъёог хэрэглэснээр бүх төрлийн хольцын бодлогыг агшин зуурт бодох боломжтой болно. Юуны өмнө хольцын бодлого гэж ямар төрлийн бодлогууд байдаг тухай танилцъя. Бодлого 1. 200 гр давсны уусмалд 50 гр давс байв. 10%-ийн хольцтой уусмал болгохын тулд хичнээн хэмжээний ус нэмэх вэ? Ийм төрлийн бодлогуудыг бодоход хувь процентийн тухай мэдлэг, пропорц ашиглах чадвар дадлага шаардлагатай байдаг ба нөгөө талаасаа хольцын бодлогыг бодох хүснэгтийн арга гэдэг техникийг их хэрэглэдэг. Ердийн аргаар бодлогыг бодъё. х гр ус нэмсэн гэж үзье. Тэгвэл нийт давсны уусмал 200+х гр жинтэй болох ба харин 50 гр давсны хэмжээ өөрчлөгдөхгүй. Тэгэхлээр шинэ үүссэн 200+х гр уусмалын 10%-ийг 50 гр давс эзлэх хэрэгтэй болно. Эндээс 200+х гр →100% ба 50 гр → 10% гэсэн пропорцыг бодох замаар 200+х=(100*50)/10 буюу 200+х=500 ба улмаар х=300 гр гэж гэж х-ийг олно. Өөрөөр хэлбэл 300 гр ус нэмбэл үүсэх уусмалын концентрац 10% болох нь. Хольцод хоёр юм уу түүнээс дээш тооны бодис оролцох бөгөөд тэдгээр нь харьцангуй жигд холилдсон байгаа гэж үздэг. Гэхдээ ихэвчлэн нэг төрлийн бодисын дотор нөгөө төрлийн бодисыг хольсон мэтээр авч үздэг. Ийм тохиолдолд нийт хольцын дотор сүүлчийн бодисын эзлэх хувийн жинг илэрхийлсэн концентрац гэдэг нэр томъёог хэрэглэдэг. Энэ нэр томъёотой бид ихэвчлэн химийн хичээл дээр тааралддаг билээ. Байгаль дээр тоо томшгүй олон хольц байх бөгөөд математикийн бодлогуудад ч олон төрлийн хольц дурдагддаг. Зонхилон дараах төрлийн хольцууд тааралдана. Үүнд: Уусмал буюу шингэн хольц. Энэ нь усанд уусгасан ямар нэгэн бодис. Давс, чихэр, иод гэх зэрэг. Бодисын эзлэх хувийг концентрац гэнэ. Хайлш буюу хатуу хольц. Хоёр буюу хэд хэдэн металлын хольж хайлуулсан хайлш. Алиных нь ч эзлэх хувийг концентрац гэж нэрлэх боломжтой агаад өгүүлбэрийн тавилаасаа л хамаарна. Хүдэр. Энэ бол ихэвчлэн байгалийн гарлаараа байгаа олборлон авсан ашигт малтмалын боловсруулаагүй түүхий эд. Хүдэр нь чулуу ба түүнд холилдсон металл. Металлын эзлэх хувийг агууламж гэнэ. Архи. Бүхний мэддэгээр архи нь ус ба спиртийн хольц. Спиртийн эзлэх хувийг градус гэнэ. 38 градусын архи гэдэг нь нийт хольцын 38 хувь нь спирт гэсэн үг. Алт эрдэнэс. Алтыг дангаар нь ямар ч хольцгүй гарган авах боломжгүй. Түүнд ямар нэгэн металлын хольц заавал орох бөгөөд тэр нь аль болох бага байвал илүү сайн. Нийт хайлш дотор алт, мөнгө зэрэг үнэт металлын эзлэх хувийг сорьц гэнэ. Гурил буюу нунтаг хольц. Гурил нь түүнд агуулагдаж байгаа нунтаг хальс, хомхруусны үлдэгдэл хир зэрэг их агуулж байгаагаараа дугаарлагдан нэгдүгээр, хоёрдугаар, дээд гэх мэтчилэн ялгагддаг. Тиймээс энэ нь гурил болон, хивэгний хольц юм. Жимс буюу чийглэг хольц. Аливаа жимс нь жимсний амтлаг бодис ба ус бөгөөд шинэ жимсэнд усны эзлэх хувь их, хатаасан жимсэнд ус тун бага байдаг байна. Хадсан өвс, талх гээд олон янзын ийм хольц байдаг. Одоо хоёр өөр төрлийн хольцийг холиход үүсэх шинэ хольцын концентрацыг олдог дараах томъёог сонирхъё. 1-р томъёо. а концентрацтай х масстай хольц дээр b концентрацтай у масстай хольцыг нэмэхэд с концентрацтай х+у масстай хольц үүссэн гэвэл ах+bу=с(х+у) адилтгал биелэнэ. Томъёоны математик баталгаа нь хялбархан бөгөөд багш нар болон математикаар гүнзгийрэн суралцагчдад зориулан баталгааг хичээлийн төгсгөлд оруулна. Энэ томъёог ямар ч хольцын бодлогод хэрэглэж болдог бөгөөд ингэж хэрэглэхэд бодолт маш оновчтой төдийгүй үлэмж хурдан болдог. Одоо хольцын төрөл бүрийн бодлогуудад дээрх томъёог хэрхэн хэрэглэдэг болохыг харцгаая. Бодлого 2. 30 хувийн зэс агуулсан зэс төмрийн 20 кг хайлшийг 60 хувийн зэс агуулсан зэс төмрийн 10 кг хайлштай хольж хайлуулжээ. Үүссэн хайлш ямар хувийн зэсийн агууламжтай вэ? Бодолт. Шинэ хайлш доторхи зэсийн агуулах хувийг х гэвэл томъёо ёсоор 30•20+60•10=х(20+10) болно. 30х=1200 ба х=40. Бодлого 3. 1-р гурилын 18 хувь нь хивэг, 2-р гурилын 27 хувь нь хивэг байдаг. 7 тн 1-р гурил дээр хэдэн тн 2-р гурил нэмбэл 20 хувийн хивэг агуулсан гурил гарах вэ? Бодолт. х тн 2-р гурил нэмсэн гэж үзээд томъёонд орлуулбал 18•7+27x=20 (7+x) болно. Үүнийг эмхэтгэвэл 126+27х=140+20x; 7x=14; x=2. Бодлого 4. 62 градусын 3 литр архин дээр хэдэн литр ус нэмж 38 градусын архи гарган авах вэ? Бодолт. Хольцтой нэг төрлийн дан бодис холих үед тэр дан бодисыг өөр нэг төрлийн хольц гэж авч үзэх хэрэгтэй. Гэхдээ түүний концентрац нь 100 байх уу, 0 байх уу гэдгийг сайн тооцож тогтоогоорой. Манай тохиолдолд архи гэдэг хольц нь ус ба спирт бөгөөд спиртийн эзлэх хувь нь градус гэдгээр хэмжигддэг, нэмж байгаа дан бодис нь ус, түүнд агуулагдах спиртийн хэмжээ нь 0 учир хоёрдугаар хольцын концентрац 0 болно. Иймэрхүү үйлдэл бүхий бодлогыг хольц шингэрүүлэх процессийн бодлого гэж нэрлэж болох юм. Одоо х литр ус нэмэх ёстой гэж үзээд томъёонд оруулъя. 62•3+0•х=38(3+x); 186=114+38x; 72=38x; x=2 литр ус нэмнэ. Бодлого 5. 39 стакан чихрийн уусмал дээр 1 стакан чихэр нэмж хутгажээ. Үүссэн уусмал 6,4 хувийн чихэр агуулж байсан бол анх ямар концентрацтай чихрийн уусмал байсан бэ? Бодолт. Энэ удаад мөн л дан бодис хольж байгаа боловч бид усанд ууссан чихрийн эзлэх хувийг концентрац гэж байгаа нь тодорхой учир дан бодис буюу дан чихэр нь ус агуулаагүй учир 100 хувийн концентрацтай гэсэн үг. Харин чихэр холихоос өмнөх үеийн уусмалын концентрацийг х-ээр тэмдэглээд томъёогоо бичье. х•39+100•1=6,4(39+1); 39x+100=256; 39x=156; x=4. Анх 4 хувийн концентрацтай чихрийн уусмал байв. Одоо арай жаахан төвөгтэй бодлогуудыг бодож үзье. Бодлого 6. 666 болон 990 сорьцтой алтнуудыг ямар харьцаагаар авч хайлуулбал 900 сорьцтой алт гарах вэ? Бодолт. 666 сорьцтой алтнаас а жинтэйг, 990 сорьцтой алтнаас в жинтэйг авч хольсон нь 900 сорьцтой а+в жинтэй алт үүсэн гэж үзээд а/в-харьцааг олъё. 666а+990в=900(а+в); 90в=234а; а/в=234/90; а/в=5,2. Бодлого 7. 1-р төрлийн хросол 10 хувийн чихэр, 9 хувийн давс, 2-р төрлийн хросол 3 хувийн чихэр, 7 хувийн давс, 3-р төрлийн хросол 8 хувийн чихэр, 4 хувийн давс агуулна. Эдгээрээс харгалзан 300, 200, 500 граммыг авч нийлүүлэн хутгавал хэдэн хувийн чихэр болон давс агуулсан шинэ төрлийн хросол гарах вэ? Бодолт. Дээрх томъёог хэрэглэхэд хольцын найрлага дах бодисын тоо болон хольцын тоо огт нөлөөлөхгүй. Хоёроос дээш тооны хольцыг нийлүүлэхэд ч яг тийм адилтгалыг бичиж болно. 2-р томъёо. а концентрацтай х масстай хольц, b концентрацтай у масстай хольц, мөн с концентрацтай z масстай хольцуудыг холиход d концентрацтай х+у+z масстай хольц үүссэн гэвэл ах+bу+cz=d(х+у+z) адилтгал биелэнэ. Тиймээс эхлээд чихрийн найрлагыг тогтооё. 10•300+3•200+8•500=x•(300+200+500); 7600=1000x; x=7,6. Үүнтэй адилаар давсны найрлагыг тогтооно. 9•300+7•200+4•500=y•1000; 9700=1000y; y=9,7. Бодлого 8. Шинэ жимс 75 хувийн ус агуулна. Харин хатсан жимс 5 хувийн ус агуулдаг бол 20 кг хатсан жимс гарган авахын тулд хэдэн кг шинэ жимс хатаах хэрэгтэй вэ? Бодолт. Ус ихээр агуулсан шинэ жимсийг хатаах үйлдэл маань түүнээс усыг нь ялган ууршуулах процесс юм. Тэгэхлээр бодлогын нөхцөл маань өөр өөр төрлийн найрлагатай бодисуудыг холих бус харин ч нэг төрлийн хольцоос өөр төрлийн хольцыг ялган салган авах хэлбэртэй болж байна. Энэ тохиолдолд ч тун амархан. Томъёоныхоо хоёр нэмэх тэмдгийг хасах тэмдгээр солиход л хангалттай. 3-р томъёо. а концентрацтай х масстай хольцоос b концентрацтай у масстай хольцыг ялган авахад с концентрацтай х-у масстай хольц үүссэн гэвэл ах-bу=с(х-у) адилтгал биелэнэ. Ингээд энэ томъёог ашиглан бодлогоо бодъё. х кг жинтэй шинэ жимс хатаана гэж үзвэл 20 кг хатсан жимс үлдэх учир х-20 кг ус ууршсан байж таарна. Иймд 75х-100(x-20)=5•20; 2000-25x=100; 25x=1900; x=48 кг болно. Бодлого 9. 70 хувийн агууламжтай 2000 тн төмрийн хүдрийг боловсруулан 1300 тн төмөр гарган авчээ. Хэдэн хувийн төмөр агуулсан хаягдал шаар үлдсэн бэ? Бодолт. Төмрийн хүдэр нь чулуу ба төмрийн хольц болохыг дээр өгүүлсэн. Түүнийг боловсруулаад цэвэр төмөр гарган авдаг боловч хаягдал шаартай нь хамт технологиосоо хамааран бага хэмжээний төмөр алдагддаг ажээ. Тэгэхлээр хаягдал болж байгаа 700 тн шаар х хувийн төмрийн агууламжтай гэж үзвэл нэг төрлийн хольцоос өөр нэг төрлийн хольц ялган авах үйлдэл хийгдэж байна. 70•2000-x•700=100•1300; 140000-700x=130000; 10000=700x; x=100/7. Бодлого 10. 30 хувийн иод агуулсан 10 г уусмал дээр 60 хувийн иод агуулсан 20 г уусмал нийлүүлжээ. Үүссэн хольц хэдэн хувийн иод агуулах вэ? Бодолт. Шууд томъёогоо хэрэглэхийн өмнө ялихгүй хувиргаж болно. а концентрацтай х масстай хольц дээр b концентрацтай у масстай хольцыг нэмэхэд с концентрацтай х+у масстай хольц үүссэн гэвэл с=(ах+bу)/(х+у) адилтгал биелэнэ. Одоо хэрэглэвэл илүү тохиромжтой болно. х=(30•10+60•20)/(10+20)=50. Энэ бол хольцод агуулагдах иодын агууламж гарч байгаа юм. Цаашилбал иодынх нь хувьд төдийгүй биш усных нь хувьд ч тооцож болно. Жишээ нь эхний уусмал 30 хувийн иодтой учир ус 70 хувь, дараагийн уусмал 60 хувийн иод агуулах учир ус 40 хувийг эзэлнэ. Иймд у=(70•10+40•20)/(10+20)=50; ус нь 50 хувь учир иод нь х=100-у=100-50=50 гэж бодож ч болно. Өөрөөр хэлбэл томъёог зөвхөн концентрац үүсгэж байгаа бодисын хувьд төдийгүй хольцын аль ч бодисын хувьд хэрэглэж болно гэсэн үг. Одоо бүгдээрээ дээх томъёонуудынхаа баталгааг сонирхоцгооё. а концентрацтай х масстай хольц дээр b концентрацтай у масстай хольцыг нэмэхэд с концентрацтай х+у масстай хольц үүссэн гэж үзье. Юуны өмнө х масстай хольцын а хувь нь, у масстай хольцын b хувь нь, х+у масстай хольцын с хувь нь ямар нэгэн бодис байна гэсэн үг. Тэгвэл энэ бодис эхний хольцод ах/100 масстай, дараагийн хольцод bу/100 масстай агуулагдаж харин шинэ хольцод c(x+y)/100 масстай агуулагдана гэсэн үг. Нөгөө талаас нэгэнт эхний хоёр хольцыг хольж шинэ хольцыг гарган авсан болохоор тэдгээрт агуулагдаж байгаа бодисуудын нийлбэр шинэ хольцод байгаа бодисын тоо хэмжээтэй тэнцүү. Ийм болохоор aх/100+bу/100=с(х+у)/100 адилтгалыг бичиж болох бөгөөд энэ илэрхийллийн хоёр талыг 100-д хураавал бидний томъёо гарч ирнэ. Энэхүү бидний хэрэглээд байгаа томъёог химийн хичээл дээр уусмалын концентрац олоход хэрэглэдэг гэдгийг санаарай. 2-р томъёоны хувьд эхний томъёогоо дахин хэрэглэх замаар амархан батлагддаг бөгөөд түүнтэй төстэй томъёог гурван төдийгүй хэдэн ч хольц дээр бичиж ашиглаж болно. Харин 3-р томъёог батлахын тулд хольцоос өөр нэг төрлийн хольц ялган авах процессийн урвуу үзэгдлийг сонирхвол тэр нь өөр өөр хольцуудыг нийлүүлэх үйлдэл болох ба түүнд нь 1-р томъёогоо хэрэглэнэ.

Д.Мөнхгэрэл-4дүгээр сургууль

2014 оны 01-р сарын 24 Нийтэлсэн many users

Разрежьте крест на четыре равные части и сложите из них квадрат. Причем высота и ширина квадрата должны быть такими же как и высота и ширина креста.

1) Разделите приведенную фигуру на 8 одинаковых частей. (AB=BC=CD=DE; AF=FE=2AB . Все углы прямые) Для успешного решения лучше всего перерисовать на бумагу.

Части те же, фигура та же, а откуда взялась дырка?

Сложите из трех одинаковых трапеций равносторонний треугольник. Для успешного решения лучше всего перерисовать на бумагу.

Разрежьте фигуру на две части, из которых можно сложить квадрат. Клетки на рисунке служат только в вспомогательных целях: по ним легко определить пропорции фигуры.


хичээлийн төлөвлөгөө Д.Мөнхгэрэл

2014 оны 01-р сарын 21 Нийтэлсэн many users

Батлав....................................... СМ

11-р ангийн 4- улирлын хичээлийн төлөвлөгөө

Ай

Дэд сэдвийн нэр

Үндсэн цаг

Нэмэлт цаг

Нийт цаг

ШХ

БХ

ДХ

ШХ

БХ

ДХ

МА2 ” Алгебр”

1

Шугаман тэгшитгэлийн систем

1

2

3

2

Шугаман биш тэгшитгэлийн систем

1

2

3

3

Систем бодох Гауссын арга

1

2

3

4

Илтгэгч ,логарифм хавсарсан тэгшитгэлийн систем

1

1

2

4

5

Тригонометрийн тэгшитгэлийн систем

1

1

2

4

6

Хоёр үл мэдэгчтэй тэнцэтгэл бишийн систем

1

2

3

МА4 “ Магадлал

7

Санамсагүй үзэгдлийн магадлал

1

2

3

8

Гүйцэд магадлал

1

2

3

9

Нөхцөлт магадлал

1

2

3

10

Комбинаторик

2

2

4

11

Давтлага хичээл

2

4

6

МА3:Геометр

12

Огторгуйн геометр

6

2

10

18












Нэгж хичээлийн хөтөлбөр

Сэдэв: Шугаман тэгшитгэлийн систем.

Зорилго : 9-р ангид үзсэнийг сэргээн сануулсны үндсэн дээр тэгшитгэлийн системийг бодох аргуудтай танилцуулна.

Зорилт:

3МА3:К1,а, шугаман тэгшитгэл бодох нэмэх арга

Б,шугаман тэгшитгэл бодох орлуулах арга

В. шугаман тэгшитгэл бодох графикийн арга

Г,шугаман тэгшитгэл болон квадрат тэгшитгэл бодох

3МА3:К2. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргад суралцах

3МА3:К3. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргыг сонгон богино хугацаанд бодох чадвар төлөвшүүлнэ.

3МА3:К4. Бие даан болон хамтран суралцаж санал бодлоо илэрхийлэх,бодлого бодох аргыг сонгон өөрийн мэдлэгийг өргөтгөх

Хичээл заах арга: харилцан ярилцах,мэдлэг бүтээлгэх арга

Хичээлийн агуулга: а, шугаман тэгшитгэл бодох нэмэх арга

Б,шугаман тэгшитгэл бодох орлуулах арга

В. шугаман тэгшитгэл бодох графикийн арга

Хичээлийн явц:

Үйлийн баримжааг ялган таних шат:

Мэддэг аргаараа бодож хэдэн арга байж болох талаар ярилцан өөрийн мэддэг болон мэдэхийг хүсэж байгаа аргад суралцах.

Үйлийн баримжааг эзэмшүүлэх шат:

Шинээр суралцсан аргаар хэд хэдэн бодлого бодох

Үйлийн баримжааг бататгах шат:

Сурах бичиг №20-22

Үнэлгээ:

Бодсон сурагчдыг самбар гарч бодуулах ба бодсон аргыг нь хэлэлцэн үнэлгээ өгнө.ямар сурагч өгсөн тэгшитгэлийг олон аргаар бодсонд үнэлгээ өгнө.

Нэгж хичээлийн хөтөлбөр

Сэдэв: Параметртэй шугаман тэгшитгэлийн систем.

Зорилго : 9-р ангид үзсэнийг сэргээн сануулсны үндсэн дээр тэгшитгэлийн системийг бодох аргуудтай танилцуулна.

Зорилт:

3МА3:К1,а, шугаман тэгшитгэл бодох нэмэх арга

Б,шугаман тэгшитгэл бодох орлуулах арга

В. Параметртэй тэгшитгэлийн системийг бодох

3МА3:К2. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргад суралцах ба параметртэй байхад шийдтэй,шийдгүй,төгсгөлгүй олон шийдтэй байх нөхцлийг тодорхойлох

3МА3:К3. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргыг сонгон богино хугацаанд бодох, параметртэй байхад шийдтэй,шийдгүй,төгсгөлгүй олон шийдтэй байх нөхцлийг тодорхойлох чадвар төлөвшүүлнэ.

3МА3:К4. Бие даан болон хамтран суралцаж санал бодлоо илэрхийлэх,бодлого бодох аргыг сонгон өөрийн мэдлэгийг өргөтгөх

Хичээл заах арга: харилцан ярилцах,мэдлэг бүтээлгэх арга

Хичээлийн агуулга: а, шугаман тэгшитгэл бодох нэмэх арга

Б,шугаман тэгшитгэл бодох орлуулах арга

В. Параметртэй тэгшитгэлийн системийг бодох

Хичээлийн явц:

Үйлийн баримжааг ялган таних шат:

Орлуулах аргаар бодож шийдтэй,шийдгүй,төгсгөлгүй олон шийдтэй байх нөхцлийн талаар ярилцан өөрийн мэддэг болон мэдэхийг хүсэж байгаа аргад суралцах.

Үйлийн баримжааг эзэмшүүлэх шат:

Параметртэй тэгшитгэлийг бодолгүйгээр шийдтэй,шийдгүй,төгсгөлгүй олон шийдтэй байх нөхцлийг ашиглан шууд бодох чадвар эзэмшүүлнэ.

Үйлийн баримжааг бататгах шат:

Сурах бичиг №27-30 шар ном №199-205

Үнэлгээ:

Бодсон сурагчдыг самбар гарч бодуулах ба бодсон аргыг нь хэлэлцэн үнэлгээ өгнө.

Нэгж хичээлийн хөтөлбөр

Цаг: 3 цаг

Сэдэв: Шугаман биш тэгшитгэлийн систем.

Зорилго : 9-р ангид үзсэнийг сэргээн сануулсны үндсэн дээр тэгшитгэлийн системийг бодох аргуудтай танилцуулна.

Зорилт:

3МА3:К1,а, шугаман биш тэгшитгэл бодох нэмэх арга

Б,шугаман биш тэгшитгэл бодох орлуулах арга

В. Нэгэн төрлийн тэгшитгэл бодох арга

Г, квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэн бодох

3МА3:К2. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргад суралцах

3МА3:К3. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргыг сонгон богино хугацаанд бодох чадвар төлөвшүүлнэ.

3МА3:К4. Бие даан болон хамтран суралцаж санал бодлоо илэрхийлэх,бодлого бодох аргыг сонгон өөрийн мэдлэгийг өргөтгөх

Хичээл заах арга: харилцан ярилцах,мэдлэг бүтээлгэх арга

Хичээлийн агуулга: а, шугаман биш тэгшитгэл бодох нэмэх арга

Б,шугаман биш тэгшитгэл бодох орлуулах арга

В. Нэгэн төрлийн тэгшитгэл бодох арга

Г, квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэн бодох

Хичээлийн явц:

Үйлийн баримжааг ялган таних шат:

Мэддэг аргаараа бодож хэдэн арга байж болох талаар ярилцан өөрийн мэддэг болон мэдэхийг хүсэж байгаа аргад суралцах.

Үйлийн баримжааг эзэмшүүлэх шат:

Шинээр суралцсан аргаар хэд хэдэн бодлого бодох

Үйлийн баримжааг бататгах шат:

Сурах бичиг №

Үнэлгээ:

Бодсон сурагчдыг самбар гарч бодуулах ба бодсон аргыг нь хэлэлцэн үнэлгээ өгнө.

Нэгж хичээлийн хөтөлбөр

Цаг: 3 цаг

Сэдэв: Шугаман тэгшитгэлийн систем бодох Гауссын арга.

Зорилго : тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргатай танилцуулна.

Зорилт:

3МА3:К1,а, шугаман тэгшитгэл бодох нэмэх арга

Б, хувьсагчыг цөөрүүлэх замаар бодох

3МА3:К2. Гауссын аргаар тэгшитгэл бодох аргад суралцах

3МА3:К3. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргыг сонгон богино хугацаанд бодох чадвар төлөвшүүлнэ.

3МА3:К4. Бие даан болон хамтран суралцаж санал бодлоо илэрхийлэх,бодлого бодох аргыг сонгон өөрийн мэдлэгийг өргөтгөх

Хичээл заах арга: харилцан ярилцах,мэдлэг бүтээлгэх арга

Хичээлийн агуулга: а, шугаман тэгшитгэл бодох нэмэх арга

Б, хувьсагчыг цөөрүүлэх замаар бодох

Хичээлийн явц:

Үйлийн баримжааг ялган таних шат:

1-р тэгшитгэлийг сонгон -4, 9 үржүүлж 2 ба 3-р тэгшитгэл дээр нэмэхэд х хувьсагч устаж 2 хувьсагчтай тэгшитгэлийн системд шилжих ба түүнийг нэмэх ,орлуулах аргаар бодож шийдийг олно.

Үйлийн баримжааг эзэмшүүлэх шат:

Шинээр суралцсан аргаар хэд хэдэн бодлого бодох

Үйлийн баримжааг бататгах шат:

Сурах бичиг №25-27

Үнэлгээ:

Бодсон сурагчдыг самбар гарч бодуулах ба бодсон аргыг нь хэлэлцэн үнэлгээ өгнө.

Нэгж хичээлийн хөтөлбөр

Цаг: 4 цаг

Сэдэв: Шугаман биш тэгшитгэлийн систем. илтгэгч ба логарифм тэгшитгэл агуулсан систем

Зорилго : 9-р ангид үзсэнийг сэргээн сануулсны үндсэн дээр тэгшитгэлийн системийг бодох аргуудтай танилцуулна.

Зорилт:

3МА3:К1,а,шугаман биш тэгшитгэл бодох орлуулах арга

В. Нэгэн төрлийн тэгшитгэл бодох арга

Г, квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэн бодох

3МА3:К2. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргад суралцах

3МА3:К3. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргыг сонгон богино хугацаанд бодох чадвар төлөвшүүлнэ.

3МА3:К4. Бие даан болон хамтран суралцаж санал бодлоо илэрхийлэх,бодлого бодох аргыг сонгон өөрийн мэдлэгийг өргөтгөх

Хичээл заах арга: харилцан ярилцах,мэдлэг бүтээлгэх арга

Хичээлийн агуулга: а,шугаман биш тэгшитгэл бодох орлуулах арга

б. Нэгэн төрлийн тэгшитгэл бодох арга

в, квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэн бодох

Хичээлийн явц:

Үйлийн баримжааг ялган таних шат:

Мэддэг аргаараа бодож хэдэн арга байж болох талаар ярилцан өөрийн мэддэг болон мэдэхийг хүсэж байгаа аргад суралцах.

Үйлийн баримжааг эзэмшүүлэх шат:

Шинээр суралцсан аргаар хэд хэдэн бодлого бодох

Үйлийн баримжааг бататгах шат:

Сурах бичиг № , шар ном №

Үнэлгээ:

Бодсон сурагчдыг самбар гарч бодуулах ба бодсон аргыг нь хэлэлцэн үнэлгээ өгнө.

Нэгж хичээлийн хөтөлбөр

Цаг: 4 цаг

Сэдэв: Шугаман биш тэгшитгэлийн систем. тригонометрийн тэгшитгэл агуулсан систем

Зорилго : тригонометрийн тэгшитгэл бодох үндсэн дээр тэгшитгэлийн системийг бодох аргуудтай танилцуулна.

Зорилт:

3МА3:К1,а,шугаман биш тэгшитгэл бодох орлуулах арга

В. Нэгэн төрлийн тэгшитгэл бодох арга

Г, квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэн бодох

3МА3:К2. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргад суралцах,тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдийг олох,бичиж тэмдэглэх,

3МА3:К3. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргыг сонгон богино хугацаанд бодох чадвар төлөвшүүлнэ.

3МА3:К4. Бие даан болон хамтран суралцаж санал бодлоо илэрхийлэх,бодлого бодох аргыг сонгон өөрийн мэдлэгийг өргөтгөх

Хичээл заах арга: харилцан ярилцах,мэдлэг бүтээлгэх арга

Хичээлийн агуулга: а,шугаман биш тэгшитгэл бодох орлуулах арга

б. Нэгэн төрлийн тэгшитгэл бодох арга

в, квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэн бодох

Хичээлийн явц:

Үйлийн баримжааг ялган таних шат:

Мэддэг аргаараа бодож хэдэн арга байж болох талаар ярилцан өөрийн мэддэг болон мэдэхийг хүсэж байгаа аргад суралцах.

Үйлийн баримжааг эзэмшүүлэх шат:

Шинээр суралцсан аргаар хэд хэдэн бодлого бодох

Үйлийн баримжааг бататгах шат:

Сурах бичиг № , шар ном №

Үнэлгээ:

Бодсон сурагчдыг самбар гарч бодуулах ба бодсон аргыг нь хэлэлцэн үнэлгээ өгнө.

Нэгж хичээлийн хөтөлбөр

Цаг: 3 цаг

Сэдэв: хоёр хувьсагчтай тэнцэтгэл бишийн систем.

Зорилго : 9-р ангид үзсэнийг сэргээн сануулсны үндсэн дээр тэгшитгэлийн системийг бодох аргуудтай танилцуулна.

Зорилт:

3МА3:К1,а, тэнцэтгэл бишийг бодох

Б,тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлогийг дүрслэх

В. Функцын графикийг байгуулах

Г, тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийг дүрслэх

Д, зураг ашиглан систем зохиох

3МА3:К2. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргад суралцах

3МА3:К3. Төрөл бүрийн аргаар тэгшитгэл бодох аргыг сонгон богино хугацаанд бодох чадвар төлөвшүүлнэ.

3МА3:К4. Бие даан болон хамтран суралцаж санал бодлоо илэрхийлэх,бодлого бодох аргыг сонгон өөрийн мэдлэгийг өргөтгөх

Хичээл заах арга: харилцан ярилцах,мэдлэг бүтээлгэх арга

Хичээлийн агуулга: а, тэнцэтгэл бишийг бодох

Б,тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлогийг дүрслэх

В. Функцын графикийг байгуулах

Г, тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийг дүрслэх

Д, зураг ашиглан систем зохиох

Хичээлийн явц:

Үйлийн баримжааг ялган таних шат:

Мэддэг аргаараа бодож хэдэн арга байж болох талаар ярилцан өөрийн мэддэг болон мэдэхийг хүсэж байгаа аргад суралцах.

Үйлийн баримжааг эзэмшүүлэх шат:

Тэнцэтгэл бишийн систем бодох хэд хэдэн бодлого бодох

Үйлийн баримжааг бататгах шат:

Сурах бичиг №

Үнэлгээ: Бодсон сурагчдыг самбар гарч бодуулах ба бодсон аргыг нь хэлэлцэн үнэлгээ өгнө.

д.Мөнхгэрэл - 4 бүрэн дунд сургууль

2014 оны 01-р сарын 21 Нийтэлсэн many users

Д.Мөнхгэрэл-4дүгээр сургууль

2014 оны 01-р сарын 20 Нийтэлсэн many users

6-7 КЛАССЫ

1. Юра задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое число задумал Юра? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.

2. Можно ли пятью прямыми разбить плоскость на 13 частей?

3. Докажите, что число19191919199797979797 - составное.

4. За круглым столом сидят 30 учеников, некоторые из которых всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Известно, что среди двух соседей каждого лжеца есть ровно один лжец. При опросе 12 учеников сказали, что ровно один из их соседей - лжец, а остальные сказали, что оба их соседа - лжецы. Сколько лжецов сидит за столом?

5. Во дворе стоят 12 столбов. Электрику Петрову дали задание соединить столбы проводами таким образом, чтобы каждый провод соединял ровно два столба, никакие два столба не были бы соединены дважды, и, главное, чтобы для любых четырех столбов нашлось бы ровно три провода, протянутых между этими столбами. Докажите, что электрик Петров не сумеет справиться с этим заданием.

8 КЛАСС

1. Волк сказал, что Медведь - лжец, Медведь сказал, что Волк - лжец, а Лис сказал, что оба они - лжецы. Известно, что из этих трех зверей двое всегда лгут, а один всегда говорит правду. Кто из них сказал правду? Не забудьте обосновать ответ.

2. Можно ли расставить по кругу все натуральные числа от 1 до 10 таким образом, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, не делилась на 3, а сумма любых двух чисел, стоящих рядом, не делилась на 2? Каждое число нужно использовать ровно один раз.

3. Докажите, что число1919191919191997979797979797 - составное.

4. В треугольникеABC через AA1, BB1 и CC1 обозначим высоты, а через AA2, BB2 и CC2 - медианы. Докажите, что длина ломаной A2B1C2A1B2C1A2 равна периметру треугольникаABC.

5. Шахматная доска 8*8 разбита на 32 плитки, из двух клеток каждая. Назовем плитку горизонтальной, если ее длинная сторона параллельна горизонтальной стороне доски. Горизонтальную плитку назовем черно-белой, если ее левая клетка черная, и бело-черной в противном случае. Докажите, что количество черно-белых горизонтальных плиток разбиения равно количеству бело-черных горизонтальных плиток.

КОМАНДНАЯ ОЛИМПИАДА. 6-7 КЛАССЫ

1. Каких чисел среди всех целых чисел от 1 до 1000000 больше и на сколько: делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 не делится, или не делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 делится?

2. На поле брани встретились армии Толстых и Тонких, по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. После этого у армий кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 1000 солдат.

3. Два игрока по очереди записывают натуральные числа от 1 до 4 в клетки таблицы 2*2, причем каждое число может быть записано только один раз. После заполнения всей таблицы отмечается строка, сумма чисел в которой - наибольшая, и столбец, сумма чисел в котором - наибольшая. Выигрышем первого игрока (соответственно, проигрышем второго) назовем разность между суммой чисел в отмеченной строке и суммой чисел в отмеченном столбце. Какой будет выигрыш первого при правильной игре обоих игроков?

4. Найдите наибольшее возможное отношение трехзначного числа abc к числу ab + bc.

5. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению: 1997(x + y) = xy.

6. В Море Дождей живут осьминожки, у каждой - один или два друга. Когда взошло Солнце, все те осьминожки, у кого было двое друзей, посинели, а все те, у кого был один друг - покраснели. Оказалось, что любые два друга - разноцветные. Тогда 10 синих осьминожек перекрасились в красный цвет, и одновременно с этим 12 красных осьминожек перекрасились в синий цвет, после чего любые два друга стали одного цвета. Сколько осьминожек в Море Дождей?

КОМАНДНАЯ ОЛИМПИАДА. 8 КЛАСС

1. Каких чисел среди всех целых чисел от 1 до 1000000 больше и на сколько: делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 не делится, или не делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 делится?

2. На поле брани встретились армии Толстых и Тонких, по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. Наконец, каждый уцелевший Толстый еще раз выстрелил в одного из Тонких. После этого у армий кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 500 солдат.

3. Два игрока по очереди записывают натуральные числа от 1 до 4 в клетки таблицы 2*2, причем каждое число может быть записано только один раз. После заполнения всей таблицы отмечается строка, сумма чисел в которой - наибольшая, и столбец, сумма чисел в котором - наибольшая. Выигрышем первого игрока (соответственно, проигрышем второго) назовем разность между суммой чисел в отмеченной строке и суммой чисел в отмеченном столбце. Какой будет выигрыш первого при правильной игре обоих игроков?

4. Для каких n в клетчатом квадрате со стороной n можно расставить +1 и -1 так, чтобы все 4n сумм и произведений по строкам и по столбцам были одинаковы?

5. Докажите, что уравнение (x2+1)(y2+1) = z2+1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

6. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на стороне AB взята точка K, а на стороне AC - точка L так, что AK = CL. Докажите, что KL не меньше половины BC.

Д.Мөнхгэрэл-4дүгээр сургууль

2014 оны 01-р сарын 20 Нийтэлсэн many users

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 1. 20.02.1997.

ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Каждая диагональ делит четырехугольник на два равнобедренных треугольника. Обязательно ли его диагонали взаимно перпендикулярны?

2. В каждой клетке шахматной доски провели по одной диагонали. Докажите, что можно раскрасить каждый из получившихся 128 треугольников в один из трех цветов так, чтобы треугольники одинакового цвета по стороне не граничили.

3. Числа a и b таковы, что
a2 + b2 + ab = a + b. Найдите наибольшее возможное значение суммы a2 + b2.

4. Какое наименьшее количество "доминошек" можно расставить на поле 8*8 так, чтобы в плоскости поля нельзя было бы сдвинуть ни одной "доминошки" при условии, что "доминошки" не должны выступать за пределы поля?

5. Назовем трехзначное число особенным, если из него можно вычеркнуть одну цифру так, что получившееся двузначное число окажется меньше суммы цифр исходного трехзначного. Сколько существует особенных трехзначных чисел?

6. Выпуклый пятиугольник вписан в окружность. Верно ли, что если равны все его диагонали, то все его углы равны между собой и все его стороны также равны между собой?

7. Несколько клеток бесконечного белого листа клетчатой бумаги закрасили в черный цвет. Разрешается выбрать на листе любой квадрат размером 2*2 и перекрасить все его белые клетки в черный цвет, а все черные - в белый. Назовем раскраску хорошей, если несколькими такими операциями можно добиться, чтобы все клетки листа стали белыми. Докажите, что раскраска является хорошей тогда и только тогда, когда в каждой горизонтали и в каждой вертикали листа в черный цвет закрашено четное число клеток.

8. При каком наименьшем натуральном n, отличном от 1, число 1979 нельзя представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых делится на n, но не делится на n + 1, а другое делится на n + 1, но не делится на n?

9. Назовем набор из 60 гирь крепким, если его невозможно разбить на три группы по 20 гирь в каждой так, чтобы массы всех трех групп были разными. Найдите все крепкие наборы, в которых есть хотя бы одна гиря массой 1 кг и хотя бы одна гиря массой 2 кг.

10. Два игрока играют, делая ходы по очереди. В свой ход каждый игрок пишет не делящееся ни на 2, ни на 5 натуральное число, в записи которого не более пяти цифр. Проигрывает тот игрок, после хода которого сумма всех выписанных чисел в первый раз превысит миллион. Кто выиграет при правильной игре?


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 2. 21.02.1997.

ВЫСШАЯ ЛИГА

1. В параллелограмме ABCD AB = BD. Докажите, что AC > 1,5AD.

2. Можно ли составить магический квадрат 5*5 из натуральных чисел от 1 до 25 (все эти числа нужно использовать ровно по одному разу) так, чтобы делилась на три сумма восьми чисел, стоящих во всех клетках внешней каемки, отличных от угловых клеток и центральных клеток сторон? Числовой квадрат называется магическим, если в нем равны между собой все суммы чисел по строкам, по столбцам и по диагоналям.

3. Рассмотрим целочисленные точки (x; y) координатной плоскости, для которых 1 < x, y < 1997. Отметим те из них, у которых координаты - взаимно простые натуральные числа. Докажите, что отмеченных точек не менее половины.

4. Можно ли клетчатую доску 1998*1998 раскрасить в несколько цветов так, чтобы для каждого использованного цвета оказалось ровно две клетки этого цвета, причем эти две клетки находились в одном столбце или в одной строке и между ними была ровно одна клетка другого цвета? Каждая клетка красится целиком в один цвет.

5. На Марсе 2000 стран, и для каждой четверки стран хотя бы одна страна из этой четверки дружит с тремя другими странами из этой четверки. Найдите наименьшее возможное количество стран Марса, которые дружат со всеми остальными 1999 странами.

6. Верно ли, что найдутся два таких 1997-значных натуральных числа, что десятичные записи каждого из них и их произведения состоят только из нечетных цифр?

7. AE - биссектриса треугольника ABC, точка D выбрана на стороне AC так, что сумма величин углов DBC и ABC равна 180o. Докажите, что DE - биссектриса угла BDC.

8. Клетчатый прямоугольник, каждая сторона которого не меньше 1, разбит на доминошки (прямоугольники из двух клеточек). Докажите, что количество квадратов 2*2, состоящих из двух целых доминошек, больше количества квадратов 2*2, состоящих из клеток четырех разных доминошек.

9. На доске в ряд выписаны n последовательных натуральных чисел. Двое играют в следующую игру: они по очереди разными мелками зачеркивают по одному из незачеркнутых ранее чисел, и так до тех пор, пока все числа не будут зачеркнуты. Если в какой-то момент игры окажется, что первый игрок зачеркнул два рядом стоящих числа, то он проиграл. Найдите все значения n, при которых первый игрок может не проиграть, независимо от игры второго игрока.

10. Докажите, что после раскрытия всех скобок и приведения всех подобных слагаемых в выражении
(1+x+x2+x3+...+x2000)(1+x2+x4+x6+...+x4000)(1+x3+x6+x9+...+x6000)...(1+x2000+x4000+x6000+...+x20002) коэффициент при x1998 окажется строго больше, чем коэффициент при x1997.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 3. 22.02.1997.

ВЫСШАЯ ЛИГА

1. При каком наибольшем n можно расставить на шахматной доске n белых и n черных ладей так, чтобы никакие две ладьи разных цветов не били друг друга?

2. Пусть a, b и c - стороны треугольника с периметром 1. Докажите что
((1+a)/(1-2a)) + ((1+b)/(1-2b)) + ((1+c)/(1-2c)) > 6

3. На листе бумаги нарисован клетчатый квадрат 10*10. Двое по очереди делают ходы. Первый каждым своим ходом рисует клетчатый прямоугольник площадью в 20 клеток, все стороны которого лежат внутри или на сторонах исходного квадрата. Эти прямоугольники могут пересекаться, но не могут совпадать. Второй каждым своим ходом отмечает крестиком одну из клеток только что нарисованного прямоугольника, причем нельзя отмечать клетку, уже отмеченную ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода без нарушения правил. Кто из игроков выигрывает при правильной игре и как ему для этого надо играть?

4. Числа a, b, c, d, e нечетны и не являются точными квадратами. Может ли произведение abbccddeea быть точным квадратом?

5. Существуют ли такие натуральные a, b и c, что
(a + b)(b + c)(c + a) = 340?

6. Имеются семь монет, пронумерованных от 1 до 7. Известно, что ровно шесть из них - настоящие, весящие одинаково, а одна - фальшивая, и ее вес отличается от веса настоящей монеты. Известно также, что монеты 1 и 2 не тяжелее настоящей, а монеты 5, 6, 7 - не легче настоящей. Можно ли, используя эту информацию, за два взвешивания на чашечных весах без гирь наверняка определить номер фальшивой монеты и узнать, легче она или тяжелее настоящей, если результаты обоих взвешиваний становится известными только после второго взвешивания?

7. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он придумал такое натуральное число, что для любых натуральных чисел n и k, не больших 1997, это число можно представить в виде произведения n различных натуральных чисел, являющихся точными k-ми степенями. Может ли это утверждение барона быть истинным?

8. Из 35 клетчатых прямоугольников, не являющихся квадратами, составили девять квадратов 10*10. Докажите, что из всех этих прямоугольников можно составить два прямоугольника, площади которых отличаются не более, чем на 80 клеток.

9. Старшина составил расписание дежурств для взвода из 50 курсантов на 30 дней, в котором каждый день заступают на дежурство 4 курсанта, и у каждого курсанта перерыв между дежурствами не менее 5 дней. Докажите, что можно добавить в каждое дежурство по одному курсанту так, чтобы у каждого курсанта перерыв между дежурствами по-прежнему был не менее 5 дней.

10. Докажите, что если четыре биссектрисы внутренних углов выпуклого пятиугольника соответственно перпендикулярны противолежащим сторонам (или их продолжениям), то таким же свойством обладает и пятая биссектриса.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 4. 23.02.1997.

ВЫСШАЯ ЛИГА

1. По кругу записаны 1997 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре одно из соседних чисел делится на другое. Докажите, что найдется пара и не соседних чисел с тем же свойством.

2. Можно ли составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными вида

P(x, y) = 0 ;

Q(x, y) = 0 ,

где P(x, y) и Q(x, y) - многочлены степени не выше второй, чтобы она имела ровно три решения в действительных числах: (2; 3), (0; 2), (9; 7)?
Напоминаем, что многочлен xy2 - третьей степени.

3. На первое занятие танцевального кружка пришли школьники, каждый из которых знает ровно трех других. Руководитель кружка хочет расставить несколько человек в круг так , чтобы каждый знал своих соседей справа и слева. После многочисленных попыток он понял, что ни трех, ни четырех школьников расставить таким образом ему не удастся. Чему равно наименьшее возможное число участников кружка ?

4. Можно ли отметить на плоскости 1001 точку так, чтобы для каждой из них среди расстояний от нее до всех остальных было ровно 999 различных?

5. Верно ли, что если в выпуклом пятиугольнике каждая диагональ делит углы при вершинах, которые она соединяет, в отношении 2:1, то в этом пятиугольнике все углы равны между собой и все стороны равны между собой?

6. На поверхности шарообразной планеты расположено 1996 замков (замки будем считать точками, причем никакие четыре из них не лежат на одной окружности). Два крота по очереди соединяют эти замки прямолинейными туннелями (за один ход прорывается ровно один новый туннель из любого замка, вначале никаких туннелей нет вообще). Проигрывает тот крот, после хода которого можно будет попасть по туннелям из любого замка в любой другой. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий крот или его соперник?

7. Найдите все натуральные n, при которых уравнение
nx + ny + nz + nt =2000 имеет решение в целых числах.

8. Можно ли расставить во всех клетках квадрата 100*100 плюсы и минусы так, чтобы у любого минуса в соседних по сторонам клетках было ровно три плюса, а у любого плюса в соседних по сторонам клетках был ровно один минус?

9. Можно ли в вершинах и серединах сторон 999-угольника расставить натуральные числа от 1 до 1998 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в ее середине? Все эти числа нужно использовать ровно по одному разу.

10. Могут ли все прямые, делящие пополам периметр треугольника, пересекаться в одной точке?


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 1. 20.02.1997.

ПЕРВАЯ ЛИГА

1. Для участников матбоя и членов жюри было приготовлено конфет столько же, сколько булочек и стаканов чая вместе. Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько, сколько булочек. Найдется ли стакан чая для заглянувшего к ним члена жюри?

2. Каждая диагональ делит четырехугольник на два равнобедренных треугольника. Обязательно ли его диагонали взаимно перпендикулярны?

3. Некоторые клетки бесконечного клетчатого листа покрашены в черный цвет, а все остальные - в белый, как показано на рисунке справа. Разрешается поменять цвета на противоположные у любых четырех клеток, образующих квадрат 2*2. Можно ли за несколько таких операций добиться того, чтобы все клетки стали белыми?

4. Два мудреца написали на семи карточках числа от 5 до 11. После этого они перемешали карточки, первый мудрец взял себе три карточки, второй взял две, а две оставшиеся карточки они, не глядя, спрятали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: "Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках четна!" Какие числа написаны на карточках первого мудреца?

5. Назовем трехзначное число особенным, если из него можно вычеркнуть одну цифру так, что получившееся двузначное число окажется меньше суммы цифр исходного трехзначного. Сколько существует особенных трехзначных чисел?

6. Выпуклый пятиугольник вписан в окружность. Известно, что все его диагонали равны между собой. Докажите, что все его углы равны между собой и все его стороны также равны между собой?

7. Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Шестиклассник Ваня сказал, что займет последнее. По итогам чемпионата все заняли разные места, и оказалось, что все, кроме, разумеется, Вани, заняли места хуже, чем ожидали. Какое место занял Ваня?

8. Число 599 нужно представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых делится на n, но не делится на n + 1, а другое делится на n + 1 но не делится на n. Докажите, что это невозможно при n = 25 и возможно при любом меньшем натуральном n, кроме 1.

9. Четыре человека подошли ночью к мосту (с одной стороны) и хотят перейти через него. У них есть на всех один фонарик, без которого невозможно и шагу ступить. Мост выдерживает только двух человек. Папа может перейти мост за 1 минуту, мама - за 2 минуты, малыш - за 5 минут, бабушка - за 10 минут. Как им всем перейти мост за 17 минут?

10. Два игрока играют, делая ходы по очереди. В свой ход каждый игрок пишет не делящееся ни на 2, ни на 5 натуральное число, в записи которого не более двух цифр. Проигрывает тот игрок, после хода которого сумма всех выписанных чисел в первый раз превысит тысячу. Кто выиграет при правильной игре?


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 2. 21.02.1997.

ПЕРВАЯ ЛИГА

1. В параллелограмме ABCD AB = BD. Докажите, что AC > 1,5AD.

2. Можно ли составить магический квадрат 5*5 из натуральных чисел от 1 до 25 (все эти числа нужно использовать ровно по одному разу) так, чтобы делилась на три сумма восьми чисел, стоящих во всех клетках внешней каемки, отличных от угловых клеток и центральных клеток сторон? Числовой квадрат называется магическим, если в нем равны между собой все суммы чисел по строкам, по столбцам и по диагоналям.

3. На доске в ряд выписаны n последовательных натуральных чисел. Двое играют в следующую игру: они по очереди разными мелками зачеркивают по одному из незачеркнутых ранее чисел, и так до тех пор, пока все числа не будут зачеркнуты. Если в какой-то момент игры окажется, что первый игрок зачеркнул два рядом стоящих числа, то он проиграл. Найдите все значения n, при которых первый игрок может не проиграть, независимо от игры второго игрока.

4. Можно ли клетчатую доску 1997*1997 с вырезанной центральной клеткой раскрасить в несколько цветов так, чтобы для каждого использованного цвета оказалось ровно две клетки этого цвета, причем эти две клетки находились в одном столбце или в одной строке и между ними была ровно одна клетка другого цвета (не вырезанная)? Каждая клетка красится целиком в один цвет.

5. На Марсе 2000 стран, и для каждой четверки стран хотя бы одна страна из этой четверки дружит с тремя другими странами из этой четверки. Найдите наименьшее возможное количество стран Марса, которые дружат со всеми остальными 1999 странами.

6. Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на любое большее трех число равнобедренных треугольников.

7. На витрине ювелирного магазина лежат 9 золотых монет массой 100 г, 101 г, ..., 108 г. Рядом с каждой золотой монетой лежала этикетка, указывающая массу монеты. Первого апреля какой-то шутник переложил этикетки. Продавец точно помнит, какая монета сколько весит, но хозяин ему не верит. У продавца имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс грузов, лежащих на чашках. Как продавец за два взвешивания может показать хозяину, как правильно положить все этикетки?

8. Лист бумаги имеет форму выпуклого шестиугольника. Петя провел на нем несколько линий, разбивших лист на три параллелограмма. Вася шестиугольника не видел, но утверждает, что можно стереть Петины линии и провести несколько линий, не повторяющих стертые, таким образом, что они тоже разобьют лист на три параллелограмма. Прав ли Вася?

9. При каком наименьшем натуральном n 1997 произвольных кусков халвы можно разложить на две части равной массы, разрезав не более n кусков?

10. Каким количеством способов можно заменить все звездочки на рисунке справа десятичными цифрами так, чтобы получился верный пример на умножение?

19*****

*

-------

*****97


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 3. 22.02.1997.

ПЕРВАЯ ЛИГА

1. Можно ли расставить на шахматной доске 17 белых и 17 черных ладей так, чтобы ладьи разных цветов не били друг друга?

2. Вершины замкнутой несамопересекающейся восьмизвенной ломаной совпадают с вершинами куба. Докажите, что у этой ломаной найдутся четыре звена одинаковой длины.

3. На листе бумаги нарисован клетчатый квадрат 10*10. Двое по очереди делают ходы. Первый каждым своим ходом рисует клетчатый прямоугольник площадью в 20 клеток, все стороны которого лежат внутри или на сторонах исходного квадрата. Эти прямоугольники могут пересекаться, но не могут совпадать. Второй каждым своим ходом отмечает крестиком одну из клеток только что нарисованного прямоугольника, причем нельзя отмечать клетку, уже отмеченную ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода без нарушения правил. Кто из игроков выигрывает при правильной игре и как ему для этого надо играть?

4. Числа a, b, c нечетны и не являются точными квадратами. Может ли произведение abbcca быть точным квадратом?

5. Существуют ли такие натуральные a, b и c, что (a + b)(b + c)(c + a) = 340?

6. Имеются семь монет, пронумерованных от 1 до 7. Известно, что ровно шесть из них - настоящие, весящие одинаково, а одна - фальшивая, и ее вес отличается от веса настоящей монеты. Известно также, что монеты 1 и 2 не тяжелее настоящей, а монеты 5, 6, 7 - не легче настоящей. Можно ли, используя эту информацию, за два взвешивания на чашечных весах без гирь наверняка определить номер фальшивой монеты и узнать, легче она или тяжелее настоящей?

7. Найдите все двузначные числа, обладающие следующим свойством: если вставить между его цифрами произвольное ненулевое количество семерок, то полученное число будет делиться нацело на 13.

8. Из 35 клетчатых прямоугольников, не являющихся квадратами, составили девять квадратов 10*10. Докажите, что из всех этих прямоугольников можно составить два прямоугольника, площади которых отличаются не более, чем на 80 клеток.

9. Старшина составил расписание дежурств для взвода из 25 курсантов на 30 дней, в котором каждый день заступают на дежурство три курсанта, и у каждого курсанта перерыв между дежурствами не менее трех дней. Докажите, что можно добавить в каждое дежурство по одному курсанту так, чтобы у каждого курсанта перерыв между дежурствами по-прежнему был не менее трех дней?

10. Докажите, что если четыре биссектрисы внутренних углов выпуклого пятиугольника соответственно перпендикулярны противолежащим сторонам (или их продолжениям), то таким же свойством обладает и пятая биссектриса.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 4. 23.02.1997.

ПЕРВАЯ ЛИГА

1. По кругу записаны 1997 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре одно из соседних чисел делится на другое. Докажите, что найдется пара и не соседних чисел с тем же свойством.

2. Можно ли составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными вида,

P(x, y) = 0 ;

Q(x, y) = 0 ,

где P(x, y) и Q(x, y) - многочлены, чтобы она имела ровно три решения: (2; 3), (0; 2), (9; 7)?

3. На первое занятие танцевального кружка пришли школьники, каждый из которых знает ровно трех других. Руководитель кружка хочет расставить несколько человек в круг так, чтобы каждый знал своих соседей справа и слева. После многочисленных попыток он понял, что ни трех, ни четырех школьников расставить таким образом ему не удастся. Чему равно наименьшее возможное число участников кружка?

4. Библиотекарь расставляет на очень длинной полке собрание сочинений, содержащее 1997 томов. После этого он получает выговор за каждую пару томов, расположенных так, что том с меньшим номером стоит правее тома с большим номером . Докажите, что при некоторой расстановке книг библиотекарь получит ровно миллион выговоров.

5. Верно ли, что если в выпуклом пятиугольнике каждая диагональ делит углы при вершинах, которые она соединяет, в отношении 2:1, то в этом пятиугольнике все углы равны между собой и все стороны равны между собой?

6. На поверхности шарообразной планеты расположено 6 замков (замки будем считать точками, причем никакие четыре из них не лежат на одной окружности). Два крота по очереди соединяют эти замки прямолинейными туннелями (за один ход прорывается ровно один новый туннель из любого замка, вначале никаких туннелей нет вообще). Проигрывает тот крот, после хода которого можно будет попасть по туннелям из любого замка в любой другой. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий крот или его соперник?

7. Из трех друзей один всегда лжет, второй всегда говорит правду, а третий может как сказать правду, так и солгать. Они на обед съели два первых блюда, два вторых и два третьих, причем каждый съел два разных блюда. Вспоминая этот обед через 5, 10 и 20 лет, Олег каждый раз утверждал, что он ел первое блюдо, Игорь два раза говорил, что он ел первое блюдо, и один раз говорил, что он ел второе блюдо, а Костя один раз утверждал, что он ел первое блюдо, второй раз утверждал, что он ел второе блюдо, и третий раз утверждал, что он ел третье блюдо. Кто из них что ел на самом деле?

8. Сколькими различными способами можно расставить во всех клетках квадрата 4*4 плюсы и минусы так, чтобы у любого минуса в соседних по сторонам клетках было ровно три плюса, а у любого плюса в соседних по сторонам клетках был ровно один минус?

9. Можно ли в вершинах и серединах сторон восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в ее середине? Все эти числа нужно использовать ровно по одному разу.

10. Незнайка отметил на плоскости 15 точек и утверждает, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он может указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. Прав ли он?


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 1. 20.2.1997.

ЮНИОРСКАЯ ЛИГА

1. Для участников матбоя и членов жюри было приготовлено конфет столько же, сколько булочек и стаканов чая вместе. Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько, сколько булочек. Найдется ли стакан чая для заглянувшего к ним члена жюри?

2. Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Шестиклассник Ваня сказал, что займет последнее. По итогам чемпионата все заняли разные места, и оказалось, что все, кроме, разумеется, Вани, заняли места хуже, чем ожидали. Какое место занял Ваня?

3. Пончик закусывал в придорожном кафе, когда мимо него проехал автобус. Через три плюшки после автобуса мимо Пончика проехал мотоцикл, а еще через три плюшки - автомобиль. Мимо Сиропчика, который закусывал в другом кафе у той же дороги, они проехали в другом порядке: сначала - автобус, через три плюшки - автомобиль, а еще через три плюшки - мотоцикл. Известно, что Пончик и Сиропчик всегда едят плюшки с одной и той же постоянной скоростью. Найдите скорость автобуса, если скорость автомобиля - 60 км/ч, а скорость мотоцикла - 30 км/ч.

4. Какое наименьшее количество "доминошек" можно расставить на поле 6*6 так, чтобы в плоскости поля нельзя было бы сдвинуть ни одной "доминошки" при условии, что "доминошки" не должны выступать за пределы поля?

5. Назовем трехзначное число особенным, если из него можно вычеркнуть одну цифру так, что получившееся двузначное число окажется меньше суммы цифр исходного трехзначного. Сколько существует особенных трехзначных чисел?

6. Выпуклый пятиугольник вписан в окружность. Верно ли, что если равны все его диагонали, то равны и все его углы?

7. Некоторые клетки бесконечного клетчатого листа покрашены в черный цвет, а все остальные - в белый, как показано на рисунке справа. Разрешается поменять цвета на противоположные у любых четырех клеток, образующих квадрат 2*2. Можно ли за несколько таких операций добиться того, чтобы все клетки стали белыми?

Description: http://olympiads.mccme.ru/ural/9/1997.gif

8. Назовем диагональ многоугольника хорошей, если она делит его площадь пополам. Какое наибольшее число хороших диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?

9. Четыре человека подошли ночью к мосту (с одной стороны) и хотят перейти через него. У них есть на всех один фонарик, без которого невозможно и шагу ступить. Мост выдерживает только двух человек. Папа может перейти мост за 1 минуту, мама - за 2 минуты, малыш - за 5 минут, бабушка - за 10 минут. Как им всем перейти мост за 17 минут?

10. Два игрока играют, делая ходы по очереди. В свой ход каждый игрок пишет не делящееся ни на 2, ни на 5 натуральное число, в записи которого не более двух цифр. Проигрывает тот игрок, после хода которого сумма всех выписанных чисел в первый раз превысит тысячу. Кто выиграет при правильной игре?


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 2. 21.02.1997.

ЮНИОРСКАЯ ЛИГА

1. На стене висят двое внешне одинаковых часов, одни - исправные, а другие - испорченные. Испорченные часы идут следующим образом: часовая стрелка движется правильно, а минутная - в ту же сторону и с того же начального положения, что и в исправных часах, но только в пять раз быстрее. Сколько раз в течение суток только по показаниям этих часов нельзя определить, какие из них исправные, а какие - испорченные?

2. Можно ли составить магический квадрат 5*5 из натуральных чисел от 1 до 25 (все эти числа нужно использовать ровно по одному разу) так, чтобы делилась на три сумма восьми чисел, стоящих во всех клетках внешней каемки, отличных от угловых клеток и центральных клеток сторон? Числовой квадрат называется магическим, если в нем равны между собой все суммы чисел по строкам, по столбцам и по диагоналям.

3. На доске в ряд выписаны 100 последовательных натуральных чисел. Двое играют в следующую игру: они по очереди разными мелками зачеркивают по одному из незачеркнутых ранее чисел, и так до тех пор, пока все числа не будут зачеркнуты. Если в какой-то момент игры окажется, что первый игрок зачеркнул два рядом стоящих числа, то он проиграл. Может ли первый игрок не проиграть, независимо от игры второго игрока?

4. Можно ли клетчатую доску 6*6 раскрасить в несколько цветов так, чтобы для каждого использованного цвета оказалось ровно две клетки этого цвета, причем эти две клетки находились в одном столбце или в одной строке и между ними была ровно одна клетка другого цвета? Каждая клетка красится целиком в один цвет.

5. На Марсе 2000 стран, и для каждой четверки стран хотя бы одна страна из этой четверки дружит с тремя другими странами из этой четверки. Найдите наименьшее возможное количество стран Марса, которые дружат со всеми остальными 1999 странами.

6. Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать как на 4, так и на 5 равнобедренных треугольников.

7. На витрине ювелирного магазина лежат 9 золотых монет массой 100г, 101г, ..., 108г. Рядом с каждой золотой монетой лежала этикетка, указывающая массу монеты. Первого апреля какой-то шутник переложил этикетки. Продавец точно помнит, какая монета сколько весит, но хозяин ему не верит. У продавца имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс грузов, лежащих на чашках. Как продавец за два взвешивания может показать хозяину, как правильно положить все этикетки?

8. Рассмотрим две операции: прибавление 19 к данному числу и деление данного числа на 97. Найдите все натуральные числа, из которых можно за несколько описанных операций получить единицу.

9. Докажите, что 1997 произвольных кусков халвы можно разложить на две части равной массы, разрезав не более одного куска.

10. Каким количеством способов можно заменить все звездочки на рисунке справа десятичными цифрами так, чтобы получился верный пример на умножение?

19*****

*

-------

*****97


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 3. 22.02.1997.

ЮНИОРСКАЯ ЛИГА

1. Пешеход вышел из А в В, чтобы придти через 5 часов. Одновременно из В выехал велосипедист, который проезжает это расстояние за один час. Через 50 минут после их встречи из В в А выехал другой велосипедист, который проезжает этот путь за 1 час 40 минут. За сколько минут до своего прибытия в В пешеход встретится со вторым велосипедистом?

2. Незнайка хочет составить число так, чтобы все цифры, входящие в его запись, были различны, а любые две цифры, стоящие подряд, составляли простое число. Найдите наибольшее число, которое может у него получиться.

3. На листе бумаги нарисован клетчатый квадрат 10*10. Двое по очереди делают ходы. Первый каждым своим ходом рисует клетчатый прямоугольник площадью в 20 клеток, все стороны которого лежат внутри или на сторонах исходного квадрата. Эти прямоугольники могут пересекаться, но не могут совпадать. Второй каждым своим ходом отмечает крестиком одну из клеток только что нарисованного прямоугольника, причем нельзя отмечать клетку, уже отмеченную ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода без нарушения правил. Кто из игроков выигрывает при правильной игре и как ему для этого надо играть?

4. Числа a, b, c нечетны и не являются точными квадратами. Может ли произведение abbcca быть точным квадратом?

5. Существуют ли такие натуральные a, b и c, что
(a + b)(b + c)(c + a) = 340?

6. Имеются семь монет, пронумерованных от 1 до 7. Известно, что ровно шесть из них - настоящие, весящие одинаково, а одна - фальшивая, и ее вес отличается от веса настоящей монеты. Известно также, что монеты 1 и 2 не тяжелее настоящей, а монеты 5, 6, 7 - не легче настоящей. Можно ли, используя эту информацию, за два взвешивания на чашечных весах без гирь наверняка определить номер фальшивой монеты и узнать, легче она или тяжелее настоящей?

7. Существует ли двузначное число, обладающее следующим свойством: если вставить между его цифрами произвольное ненулевое количество семерок, то полученное число будет делиться нацело на 13?

8. Из 35 клетчатых прямоугольников, не являющихся квадратами, составили девять квадратов 10*10. Докажите, что из всех этих прямоугольников можно составить два прямоугольника, площади которых отличаются не более, чем на 80 клеток.

9. Несколько учащихся ушли из лицея и несколько пришли. В результате число учащихся уменьшилось на 10%, а доля мальчиков в лицее увеличилась с 50% до 55%. Увеличилось или уменьшилось число мальчиков?

10. По кругу расставлены 20 натуральных чисел. Для каждого числа подсчитывают сумму десяти чисел, следующих за ним по часовой стрелке. Затем числа стирают, а вместо них записывают вычисленные суммы. Докажите, что после многократного повторения этой операции все числа станут четными.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 4. 23.02.1997.

ЮНИОРСКАЯ ЛИГА

1. По кругу записаны 1997 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре одно из соседних чисел делится на другое. Докажите, что найдется пара и не соседних чисел с тем же свойством.

2. Сколькими способами коридор шириной 2 метра и длиной 20 метров можно полностью покрыть неналегающими прямоугольными кусками линолеума со сторонами 2 метра и 1 метр?

3. На первое занятие танцевального кружка пришли школьники, каждый из которых знает ровно трех других. Руководитель кружка хочет расставить несколько человек в круг так, чтобы каждый знал своих соседей справа и слева. После многочисленных попыток он понял, что ни трех, ни четырех школьников расставить таким образом ему не удастся. Чему равно наименьшее возможное число участников кружка ?

4. Библиотекарь расставляет на очень длинной полке собрание сочинений, содержащее 1997 томов. После этого он получает выговор за каждую пару томов, расположенных так, что том с меньшим номером стоит правее тома с большим номером. Докажите, что при некоторой расстановке книг библиотекарь получит ровно миллион выговоров.

5. Найдите углы равнобедренного треугольника, который можно разрезать на два равнобедренных треугольника.

6. На поверхности шарообразной планеты расположено 10 замков (замки будем считать точками, причем никакие четыре из них не лежат на одной окружности). Два крота по очереди соединяют эти замки прямолинейными туннелями (за один ход прорывается ровно один новый туннель из любого замка, вначале никаких туннелей нет вообще). Проигрывает тот крот, после хода которого можно будет попасть по туннелям из любого замка в любой другой. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий крот или его соперник?

7. Из трех друзей один всегда лжет, второй всегда говорит правду, а третий может как сказать правду, так и солгать. Они на обед съели два первых блюда, два вторых и два третьих, причем каждый съел два разных блюда. Вспоминая этот обед через 5, 10 и 20 лет, Олег каждый раз утверждал, что он ел первое блюдо, Игорь два раза говорил, что он ел первое блюдо, и один раз говорил, что он ел второе блюдо, а Костя один раз утверждал, что он ел первое блюдо, второй раз утверждал, что он ел второе блюдо, и третий раз утверждал, что он ел третье блюдо. Кто из них что ел на самом деле?

8. Сколькими различными способами можно расставить во всех клетках квадрата 4*4 плюсы и минусы так, чтобы у любого минуса в соседних по сторонам клетках было ровно три плюса, а у любого плюса в соседних по сторонам клетках был ровно один минус?

9. Можно ли в вершинах и серединах сторон восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в ее середине? Все эти числа нужно использовать ровно по одному разу.

10.Незнайка отметил на плоскости 15 точек и утверждает, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он может указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. Прав ли он?

2013 оны - Анхдагчууд

2013 оны 12-р сарын 12 Нийтэлсэн many users
Блогт анхны мэдээлэл буюу багш, сурагчдад хэрэгцээтэй эчнээ олимпиадын бодлого тавьсанд IV сургуулийн багш С.Наранцэцэг, У.Чинзориг багш нарт талархал дэвшүүлье!

Манай багш нар бодлогыг татан авч сургалтандаа ашиглахыг уриалж байна.

 Дэлгэрэнгүй»

Математикийн эчнээ олимпиадын Vl-Vll ангилалын ll давааны бодлого

1. XX зууны хэдэн он 2n-2k хэлбэрт бичигдэх вэ? n; keN.

2. ТРИ,СТИХ, СПОРТ үгнүүд нь харгалзан тооны квадрат, куб, дөрвөн зэрэгтийг төлөөлдөг бол 8652156- тоо нь ямар үгийг төлөөлөх вэ?

3. 0-9 хүртлэх цифрүүдийг нэг мөрөнд дурын хөрш 2 цифрээр үүсгэгдэх 2 оронтой тоо эсвэл 7-д эсвэл 13-д хуваагддаг байхаар байрлуул.

4. Гурван оронтой тооны эхний цифр 2 бөгөөд түүний 1999 удаа бичихэд үүсэх тоо 91-д хуваагдаж байв. Энэ тоог ол?

5. МЯУ* МЯУ= МЯУЯК+ УЯЯ үсэгт тааврыг бод.

6. a, b -нь 56 * a =65b байх натурал тоонууд бол a+bзохиомол тоо гэж батал.

7. Цаг өдрийн 4 цагийг зааж байв.Хэдэн минутын дараа 2 зүү перпендикуляр болох вэ?

8. Натурал тоонуудын квадратыг 149162536....... маягаар залгаж бичив. 2000 дахь байранд ямар цифр байх вэ?

9. 1-ээс 2000 хүртлэх натурал тоонуудын олонлогийг бүлэг бүрт хамгийн их ба хамгийн бага тоонуудын нийлбэр үлдсэн тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү байхаар хэд хэдэн бүлэгт хувааж болох уу?

10. 1, 10, 100, 1000-тын дэвсгэртээр 1997 төгрөгийг хичнээн янзаар задлах вэ?

Математикийн эчнээ олимпиадын ll даваа ll-lll ангилал

1. Том ба жижиг 2 дэвхрэг нэг газраас ижил зүгт зэрэг дэвхэрч эхэлжээ. Жижиг нь 1см харайдаг ба том нь түүнээс 4 дахин хол харайдаг бол тэр 2-ын хоорондох зай 200 см болж болох уу?

2. 96 хуудастай дэвтрийн хуудаснуудыг 1-ээс 192 хүртэл дугаарлав. Хуудаснууд дээрх тоонуудын нийлбэр 2002 байх 27 хуудас авч болох уу?

3. Математикийн олимпиадын комиссын 30 гишүүн нийтдээ 30 бодлого тавьсан 2,3,4н бодлого тавьсан 2, 2 хүн байсан бол огт бодлого тавиагүй хүн хамгийн багадаа хэд байх вэ?

4. Гурван найз нийт 160₮ ном авав. Хэрэв 3-р сурагч ирээгүй байсан бол 40₮,1-р сурагч ирээгүй байсан бол 60₮ дутах байсан бол 2-р сурагч хэдэн төгрөгтэй байсан бэ?

5.




Зурагт дүрсэлсэн дүрсэд хичнээн тэгш өнцөгт байна вэ?_________

6. Квадрат хэлбэртэй талбайн талын дагуу 2 м бүрд багана босгожээ. Нэг тал дээр нь 21 багана босгосон бол талбайн периметрийг ол. Бүгд хэдэн багана босгосон бэ?

7. 8 шулуун хамгийн ихдээ хэдэн цэгээр огтлолцох вэ?

8. ШУКА *6=АКУЛА үсэгт тааврийг бод.

9. 3, 5, 9, 17, ? ? ? асуултын тэмдэгийн оронд тохирох зүй тогтолт тоог ол.

10. 10 хүн даргаа сонгохоор болов. Тэд дугуйрч суугаад хэн нэгнээсээ эхэлж зүүн тийш тоолон “7” дахь хүнийг хассаар үлдэх ганц хүнийг дарга болгохоор тохиров. Харин хаанаас эхэлж тоолохоо хуучин дарга мэд гэв. Хуучин дарга өөрөө үлдэхийн тулд хаанаас эхэлж тоолох вэ?

Математикийн эчнээ олимпиадын ll даваа lV-Vангилал

1. 0-9 хүртлэх цифрүүдийг цувуулан бичихдээ аль ч хөрш 2 цифрээр үүсгэгдэх 2 оронтой тоо нь 7-д, эсвэл 13-д хуваагдаж байхаар байрлуулж бич.

2. Нэг өрөөнд 30, 32, 36, 40, 46, 47, 52, 55 настай 8 хүн байв. Өрөөнөөс нэг хүн гарсны дараа үлдсэн 7 хүний 5 хүний нас нь 2 хүний наснаас 2 дахин их болов. Хэдэн настай хүн өрөөнөөс гарсан бэ?

3. Ширээн дээр улаан, шар,хөх өнгөөр будсан 297 шагай өрөв. Түүнийгээ 1 улаан, 2шар, 3 хөх өнгийн шагай дараалан орсон байхаар цувуулан өрөв. Энэ цувааны хамгийн сүүлийн шагай ямар өнгөтэй вэ?

4. Гурван оронтой тоо нь түүний аль ч цифрийг дарахад үүсэх 2 оронтой тоонд үлдэгдэлгүй хуваагддаг байв. Тийм бүх 3 оронтой тоог ол.

5. Өөрийнхөө бүх натурал хуваагчдын нийлбэрийн хагастай тэнцүү бүх 2 оронтой тоонуудыг ол.

6. Ямар ч таван бүхэл тоон дотроос нийлбэр нь 3-т хуваагддаг 3-н тоо олдоно гэж батал.

7. Х тооны цифрүүдийн нийлбэр у-тэй тэнцүү. У тооны цифрүүдийн нийлбэр Z-тэй тэнцүү хэрэв X+Y+Z=60 Бол X тоог ол.

8. MOM – KM=KИР

___ + _ үсэгт тааврыг бод.

EE * П = ИИ

ММ + PД= TM

9. 6x6 хэмжээтэй квадратыг 1x4 хэмжээтэй тэгш өнцөгтүүдэд хувааж болох уу?

10.







5-н дүрсээр 4х5хэмжээтэй хүснэгтийг тэгш өнцөгтийг нийлүүлэн бүтээж болох уу?


8 класс

1. Сравнив дроби 111110/111111, 222221/222223, 333331/333334, расположите их в порядке возрастания.

2. Покажите как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).

3. Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a2+2cd+b2 и c2+2ab+d2 являются полными квадратами.

4. Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.

Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

5. В прямоугольном треугольнике ABC точка O - середина гипотенузы AC. На отрезке AB взята точка M, а на отрезке BC - точка N так, что угол MON - прямой.

Докажите, что AM2+CN2=MN2.

6. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым две партии: одну белыми фигурами, другую - черными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0 очков).

Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.

9 класс

1. На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2.

Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня. (Средним арифметическим двух чисел a и b называется число (a+b)/2, а средним гармоническим - число 2/((1/a)+(a/b)) ).

2. Двое играют в следующую игру: первый выписывает в ряд по своему желанию буквы А или Б (слева направо, одну за другой; по одной букве за ход), а второй после каждого хода первого меняет местами любые две из выписанных букв или ничего не меняет (это тоже считается ходом). После того, как оба игрока сделают по 1999 ходов, игра заканчивается.

Может ли второй играть так, чтобы при любых действиях первого игрока в результате получился палиндром (т. е. слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево)?

3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Окружность, проходящая через точки A, O, B, касается прямой BC.

Докажите, что окружность, проходящая через точки B, O, C, касается прямой CD.

4. Найдите все такие целые положительные k, что число

1...12...2-2...2

является квадратом целого числа.

(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";

второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

5. Вписанная окружность треугольника ABC (AB > BC) касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS - средняя линия, параллельная AB, T - точка пересечения прямых PQ и RS.

Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.

6. В соревнованиях по n-борью участвуют 2n человек. Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг, и~т.,д., пока в $n$-м виде программы не будет определен победитель. Назовем спортсмена ``возможным победителем'', если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.

а) докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является "возможными победителями";

б) докажите, что всегда число "возможных победителей" не превосходит 2n-n;

в) докажите, что может так случиться, что "возможных победителей" ровно 2n-n.

10 класс

1. Известно, что (a+b+c)c< 0.

Докажите, что b2>4ac.

2. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окружность с центром в точке P пересекает первую в точках A, B, а вторую - в точках C и D.

Докажите, что углы AQD и BQC равны.

3. Найдите все такие пары натуральных чисел x, y, что числа x3+y и y3+x делятся на x2+y2.

4. 2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных. В синие сектора, начиная с некоторого, подряд записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записываются те же числа и таким же образом, но по ходу часовой стрелки.

Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

5. Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть из точки x либо в точку x/31/2, либо в точку x/31/2+(1-(1/31/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.

Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.

6. Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд. Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.

11 класс

1. a, b, c - стороны треугольника.

Докажите неравенство

((a2+2bc)/(b2+c2))+ ((b2+2ac)/(c2+a2))+ ((c2+2ab)/(a2+b2))>3.

2. Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AC и дугой BC некоторой окружности.

Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам:

а) периметр этой фигуры;

б) ее площадь.

3. Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета.

Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.

4. На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.

Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

5. Граф - это набор вершин, причем некоторые из них соединены ребрами (каждое ребро соединяет ровно две вершины графа). Раскраска вершин графа называется правильной, если вершины одного цвета не соединены ребром. Некоторый граф правильно раскрашен в k цветов, причем его нельзя правильно раскрасить в меньшее число цветов.

Докажите, что в этом графе существует путь, вдоль которого встречаются вершины всех k цветов ровно по одному разу.

6. Решите в натуральных числах уравнение (1+nk)l=1+nm, где l>1.

5 класс

Чулков Павел Викторович

Задача 1. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорости машин - 60 км/ч и 80 км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 час?

Решение. Возможны четыре случая (сделайте рисунок!):

1) Машины едут навстречу друг другу: 200-(60+80)=60 км;

2) Машины едут в разные стороны: 200+(60+80)=340 км;

3) Машины едут в одну сторону, вторая догоняет первую: 200+(60-80)=180 км;

4) Машины едут в одну сторону, вторая впереди: 200+(80-60)=220 км.

Ответ. Возможны четыре случая: 60, 180, 220 и 340 км.

Задача 2. Как при помощи только пяти цифр 5, знаков арифметических действий и скобок представить каждое из чисел от 0 до 10 включительно?

Решение. Например:

0=(5-5)*(5+5+5)

1=5:5+(5-5)*5

2=(5+5):5+5-5

3=(5*5-5-5):5

4=5-5:5+5-5

5=5+(5-5)*(5+5)

6=5+5:5+5-5

7=5+5:5+5:5

8=5+(5+5+5):5

9=(5*5-5):5+5

10=5+5+(5-5)*5

Задача 3. Ученик написал на доске пример на умножение двузначных чисел. Затем он стёр все цифры и заменил их буквами. Получилось равенство:

AB * CD = MLNKT

Докажите, что ученик ошибся.

Решение. Равенство AB*CD=MLNKT получиться не может, так как наибольшее возможное произведение двузначных чисел 99*99<100*100=10000.

Задача 4. В трёх ящиках лежат орехи. В первом орехов на 6 меньше, чем в двух других вместе, а во втором - на 10 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

Решение. Обозначим через x, y и z количества орехов в каждом из трех ящиков. Сложив два равенства x+6=y+z и y+10=x+z, получим, что 2z=16, откуда z=8.

Ответ. В третьем ящике 8 орехов.

Задача 5. После 7 стирок длина, ширина и высота куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося мыла?

Решение. Нарисовав кусок мыла и поделив каждую сторону пополам, видим, что получится 8 маленьких кусочков, каждый из которых равен оставшемуся поcле 7 стирок. То есть на 7 стирок ушло мыла столько, сколько было в остальных 7 кусочках, поэтому остатка хватит ровно на одну стирку.

Ответ. Оставшегося мыла хватит на одну стирку.

6 класс

Блинков Александр Давидович

Задача 1. Вася задумал число и разделил его на 100. В результате получилось число, которое на 34,65 меньше задуманного. Какое число задумал Вася?

Решение. Пусть x - число, полученное в результате деления, тогда задуманное число - 100*x. Так как задуманное число на 34,65 больше, то составляем уравнение: 100*x-x=34,65. Дальше можно заметить, что 34,65=35-0,35 и получить ответ x=0,35.

Ответ. 35.

Задача 2. Найдите площадь фигуры, составленной из девяти квадратов, если периметр этой фигуры равен 32 см.

Решение. Пусть а - сторона маленького квадрата, тогда периметр фигуры равен 16а. Значит, сторона маленького квадрата равна 2 см. Сторона центрального квадрата в два раза больше стороны маленького, поэтому искомая площадь равна 48 см2.

Ответ. 48 см2.